今天说说老本行的东西

我是统计系毕业，也算数学大类吧。传闻今年咱们两位华人能拿菲尔兹奖，这个是非常大的事情。按现在泄露出来的名单，王虹和邓煜都在里面。今天就说说邓煜和 Zaher Hani、马骁这篇文章，到底证明了什么，它真正的意义在哪里。

先说一个一百多年前的问题。1900年，希尔伯特提出第六问题，其中一个非常大的方向，就是能不能从微观的粒子运动，严格推导出宏观的物理规律。

这个问题说起来非常简单。

最底层是牛顿力学。一个气体里面有大量分子，每一个分子在哪里、速度是多少，碰到另外一个分子以后怎么弹开，都可以按照牛顿力学计算。原则上，只要知道所有粒子的初始状态，后面怎么运动都是确定的。

问题是，一个正常的宏观系统里面可能有10^23 个粒子。你不可能去计算每一个粒子。

所以玻尔兹曼换了一个思路。

我们不再问第137亿个粒子现在在哪里，而是问，在某个位置附近、以某种速度运动的粒子大概有多少。于是把整个系统压缩成一个分布函数 f(t,x,v)。

这就是玻尔兹曼方程的意义。

简单说，牛顿力学研究的是每一颗球怎么撞；玻尔兹曼方程研究的是无数颗球撞来撞去以后，整个粒子群的速度分布怎么变化。

问题来了：我们凭什么说后者真的可以从前者推出来？

这个问题卡了一百多年。

1975年，Lanford证明了从硬球的牛顿动力学确实可以推导出玻尔兹曼方程，但只能维持非常短的时间。原因并不难理解。粒子一开始可以认为基本独立，但是撞起来以后就麻烦了。A撞B，B撞C，C再撞A，粒子之间会形成越来越复杂的相关性。时间一长，整个碰撞历史呈指数级爆炸。

邓煜et al. 真正解决的，就是这个问题。

他们没有继续强行假设这些粒子长期保持独立。因为这显然不现实。相反，他们承认相关性一定会产生，然后直接去研究这些相关性本身。

这里就用到了 cumulant，也就是统计里面非常熟悉的累积量。两件事情相关，就把二阶相关单独拿出来；三件事情形成真正的三元相关，再单独拿出来。然后把海量粒子的碰撞历史重新编码成一种 graph，也就是论文里面所谓的 molecules。

这一步非常重要。

原来面对的是一个几乎无法处理的超高维粒子系统，现在变成了研究 graph 里面的 tree、cycle 和 constraint。

然后他们发现一个非常有意思的事情：复杂的碰撞相关性虽然越来越多，但越复杂的 recollision，往往需要越苛刻的几何条件。

比如A撞过B，绕了一大圈以后还要重新精确撞到B。这不是随便就能发生的。粒子的初始位置、速度和碰撞角度必须满足额外约束。

所以 cycle 一方面制造了 correlation，另一方面又让这种碰撞历史在整个状态空间里面变得非常稀少。

邓煜他们做的事情，就是把这些巨大的 collision graph 切开，找出哪些 cycle 真正带来了独立的几何约束，然后利用这些约束产生的小量，去压住碰撞历史数量的爆炸。论文把这个核心工具称为 long-time cumulant ansatz，并发展了非常复杂的 molecule 组合分析和 cutting algorithm。最终，他们把Lanford只能处理短时间的结果推进到了任意长时间，只要玻尔兹曼方程的正则解仍然存在。

这件事为什么这么重要？

因为有了这一步，我们就可以继续往上走。

牛顿粒子到玻尔兹曼方程，再从玻尔兹曼方程到欧拉方程。

也就是说：

微观粒子运动 → 统计分布 → 宏观流体。

邓煜et al. 在2025年的论文中严格完成了这条推导链，论文明确把它表述为完成希尔伯特第六问题中“从牛顿定律经玻尔兹曼动力学推导流体方程”这条研究纲领。

我觉得这个意义其实远远超过解了一道数学难题。

它真正研究的是一个非常根本的问题：微观世界为什么会产生宏观规律？

单个粒子没有温度，没有压强，也没有黏度。它只有位置、速度和碰撞。但是当粒子数量足够大的时候，温度、压强、流体这些宏观结构却稳定地出现了。

这就是 emergence，涌现。

这里就我个人经验来看，这项工作的思路有非常强的 Renomalization group也就是重整化群的味道。我博士的时候做了不少这方面工作所以还有些记忆。当然他们没有直接说自己使用RG，具体数学工具完全不同。但是处理复杂性的哲学非常相似。

面对一个几乎无法直接计算的高维系统，不要试图把所有细节算完。

先换 representation。

然后问：哪些结构是真正重要的？哪些自由度可以被消掉？哪些复杂性只是已有结构重复产生的结果？

RG研究不同尺度的时候，就是不断把不重要的微观自由度积分掉，留下真正控制宏观行为的 invariance。

邓煜et al. 在这里做的事情有相似之处。海量碰撞历史看起来复杂到不可处理，但是重新编码成 molecule以后，真正重要的变成 cycle 和独立 constraint。那些看起来天文数字般的复杂性，很多并不是真正独立的自由度。

再延伸一下。

我们过去总觉得，系统越大，问题一定越复杂。但大数系统有一个非常特殊的性质：微观可以极其复杂，宏观反而可能出现稳定结构。

你不知道下一颗空气分子往哪飞，但是你可以非常准确地预测这间屋子的温度和压强。

所以数学真正厉害的地方，有时候并不是把一个巨大的问题算得更快，而是找到一个新的结构，把原来根本没法计算的问题重新表示。

世界没有变。

换了一个数学结构，问题突然可以推理了。

我觉得这才是这次工作的真正意义。它严格连接了牛顿力学和玻尔兹曼方程，也把微观粒子、统计规律和宏观流体这三层真正接了起来。

而对于今天的AI、大模型甚至复杂系统研究，这种思路其实同样有非常大的启发。