写给新高一学生的数学学习忠告
高中数学，是很多人的噩梦。不论是从知识点，还是从越来越灵活的考查方式来说，高中数学都很困难。
但是，高中数学最困难的一个点，被很多人忽略了，这个点叫做：
高中数学，开局就是生存模式。
初中数学掉队，可能出现在任何一个年级。但高中数学的掉队，基本上都是从高一第一学期就开始了。而且一旦掉了，就很难再追回来。
在初中数学里，代数、几何各占半壁江山。而一旦进入高中，函数将成为绝对的主线：
整个高中数学，大量的章节围绕函数展开，函数相关的课时约占35%。
一些表面上看起来与函数“无关”的章节——比如解析几何、立体几何等等，也都可以和函数结合起来考查。因此，高中数学给学生的体感，一般是函数无处不在。
我有时会说：“高中数学，得函数者得天下。”这句话可能略显夸张，但反过来说一句一定是没有问题的：
“高中数学，失函数者失天下。”
回到前面的观点，为什么说高中数学的开局就是生存模式呢？
这是因为，在刚进入高中之后的第一个学期里，迅速过完高中的预备知识之后，在很多同学还没适应高中的快节奏和难度的时候，函数板块中最重要的函数的概念和性质，以及高中阶段的几个核心函数的学习，就已经结束了。
是的，很多同学会发现，脚跟还没站稳，高中数学的地基竟然就已经打完了。
只要最开始函数的基础没打好，后面的三角函数（快的学校也会在高一第一学期讲完）、数列（本质上是一个离散的函数）都是铁定崩盘的，函数的导数也会受影响。
而开局的地基只要没打好，后面其他章节的学习又会变成一记重锤一次次地砸在这个薄弱环节上：比如，学到解析几何时，要你求一个三角形面积的最大值，好不容易转换成一个函数最值问题，然后又卡住了。
所以，如果只能给新高一学生三句忠告的话，我一定会说：
函数要学好！函数要学好！函数要学好！
绝大部分同学都会在新高一的暑假开始数学预科的学习，市面上的主流模式是15天左右学完高一第一学期的数理化。
这样的学习，往往看上去比较高效，但效果并不如意。
想一想，高中一个学期的数理化，15天内学完，这事真的现实吗？如果这都可以做到，高中数理化还有什么难的呢？
走马观花地过知识点，当然是可能的，但走马观花有什么意义呢？这可是整个高中的地基呀！
这样的预科学习，一般是每天每科2个小时，回家以后，学生最多只有每科15-30分钟的作业时间。这点时间，能巩固下最简单类型的问题也就不错了，开学该不及格还是不及格。
并不是说老师没有把深度拉上去，实际上，许多预科的老师还会讲一些很难的题以显示老师的水平或者课程的吸引力。但讲什么和学到什么实在是完全两回事。真实情况恰恰是，15天把三角函数都讲完的新高一预科课程结束后，很多学生连三角公式都还没背出来。
没有深度的预科，还不如不学。
慢就是快，先发者未必制人，后发者未必制于人。如果让新高二学生回头看新高一的预科，一定会对这句话很有感触。
所以，我给新高一学生数学学习的建议，最关键的就只有两条。
第一条建议是：新高一数学预科的学习，必须要慢下来。
预科，一定不要求快。在新高一的暑假，花个40天左右的时间（每天2-3小时）学完高一第一学期的数学（每个学校高一第一学期的进度并不完全相同），是相对靠谱、合理的。
如果要学得透一些，难度再拉高一些的话，大概要50天。
实在没那么多时间？也没关系，那就少学点内容。但是只要学了，就要学得透一点，搞清楚每一个“为什么”“是什么”“还有什么”，每一讲都必须配上相应的练习，并且完成练习的订正。
比如，解不等式的章节，最基本的要求是含参不等式的分类讨论求解彻底搞定，而不是只会做一些没有参数的纯数字的问题；
比如，函数的单调性，从图形语言、文字语言、到符号语言的层层递进，必须吃透，不能只会格式化地通过“增增得增”之类的小口诀来套简单题目。
一句话：宁可少学一点，也要学深一点。
给新高一学生数学学习的第二条建议，就是初中的欠债一定要在高中知识的学习之前补掉。
初中两大模块分别是代数和几何。
我的观点是，初中代数有漏洞，是必须补掉的；平面几何的漏洞，可以先放一放。
初中的代数学习的第一条主线是“运算”，在课程课标里，这条主线被分到了“数与代数”模块下的“数与式”“方程与不等式”两个部分，主要内容从有理数、实数的概念和运算，到代数式的概念和运算，到一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的求解。
进入高中之后，我们会接触更多的运算（比如对数运算、复数运算、甚至向量的运算），还会在运算中引入函数的视角。
学到解析几何的章节后，计算量巨大，如果运算功底跟不上，经常就是一道题算了半小时发现都白算了。
没有一个高中老师会帮高中生补习初中的运算。
不是说高中老师不关心运算，而是高中老师默认你的运算没问题：如果把高中数学学习看作是百米赛跑，运算功底就是这个运动员会不会走路的事情，百米赛跑的教练是不会再去教你走路的。
初中代数的第二条主线是“函数”。函数在初中的占比大约是10%，但是，初中所学习的四类基本函数（正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数）是高中函数学习的基础。
如果一个学生在初中函数学习中没有领会这些函数是如何研究的，它们的性质是如何推导的，而只是机械地背诵了类似二次函数对称轴的表达式这样的结论，进了高中以后，很难结合更一般的函数的概念和性质，理解由初中这些基础函数“生成”的函数，以及其它更复杂的初等函数。
看到这里，我想你一定可以理解我常说的“欠债还钱”的意思了：
新高一学生在初中代数模块有欠债的，必须在高中预科学习之前，先把初中的欠债给还上。
那么，初中平面几何的漏洞，为什么可以先不急着补呢？
这是因为，单从知识点的角度来看，初中平面几何的知识在高中的影响并不太大——不是用不着，只是影响没那么大。
哪怕高中立体几何的知识体系是初中平面几何知识体系的升华，但毕竟立体几何相对独立，并且不是高一刚开始的内容，将来还可以用空间向量的方式“绕过几何”来处理。
至于初中平面几何承载的另外一个核心作用——逻辑推理的训练，作为一个新高一学生来看，还是有其他渠道查缺补漏的。
因此，综合考虑新高一学生的时间安排，我对“回补”的建议集中在代数模块。
最后，如果在初中还是用一些僵化的口诀、大招、模型、套路的方式学习的，一定要在新高一的暑假，转向正确的学习方式：
重视基本概念，重视数学思想。 http://t.cn/zQBbkfb