看懂爱因斯坦场方程需要先懂什么？献给温州科高物理老师

我写了很多篇有关非欧几何的文章，主要是给学生看。其实也可以给物理老师看。此篇是献给温州科高物理老师的。因为给学生看有点深奥。它们都是为看懂爱因斯坦场方程所做的数学准备。你要看懂爱因斯坦场方程你先要懂非欧几何更多是黎曼几何。

要看懂爱因斯坦场方程先要理解三维空间可以弯曲，这是理解四维时空弯曲的基础。爱因斯坦认为物质能够扭曲时空，比如黑洞附近。

我们如何理解三维空间可以弯曲？我们平时以建立空间直角坐标系来阐述和研究我们生活的空间，这个空间是平直的三维空间，它不是弯曲的。在平直的三维空间里有二维曲面，我们如何刻画二维曲面的弯曲程度？二维曲面各种各样，我们如何区分？

平面曲线我们用曲率来刻画它的弯曲程度，如果在空间中，那曲线可能会越出平面，于是我们多了一个挠率来刻画空间曲线的弯曲程度。

在刻画曲线弯曲基础上我们找到了用高斯曲率来刻画曲面的弯曲程度。高斯曲率=0如平面，高斯曲率＞0如球面，高斯曲率＜0如马鞍面。老师可以问豆包：“如何刻画二维曲面的弯曲程度？”

三维空间也可以弯曲，那用什么概念来描述？那就是用黎曼曲率张量概念来描述三维空间的弯曲程度。老师问豆包：“如何刻画三维空间的弯曲程度？”

我们为什么要学黎曼几何或罗巴切夫斯基几何？因为在弯曲的三维空间它是不满足欧氏几何公理的，在弯曲三维空间要么是黎曼几何要么是罗巴切夫斯基几何。只有平直的三维空间也就是我们平时熟悉的空间是满足欧氏几何的。

你理解了三维空间可以弯曲，那四维时空可以弯曲就类比理解了。

你还可以这样理解三维空间的弯曲。在平直的三维空间里有各种各样弯曲的二维曲面，比如球面、马鞍面。那在平直的四维空间里就会有各种各样弯曲的三维空间，这是自然类比结果。平直的三维空间就是我们平时需要建立空间直角坐标系的空间。如果是平直的四维空间那就是只多了一个新轴即w轴。平直的四维空间有x轴、y轴、z轴、w轴。

三维空间弯曲我们无法想象，它超越了我们人类的想象能力。

我举一个弯曲的三维空间例子。

在平直的三维空间里有二维球面，它方程是x²+y²+z²=1，那在平直的四维空间里有三维球面，它方程是x²+y²+z²+w²=1，注意这里指单位球面，半径=1。三维球面是弯曲的三维空间，如弯曲的二维球面。