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在Facebook上看到一个问题的优雅物理解法~

平面上一个正三角形的三个顶点，其已知的 x 坐标分别为 a、b 和 c。求该正三角形的边长 L 是多少？

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这道可以用解析几何（如列距离公式、解方程组）来硬算。不过如果把这三个顶点看作是三个“质量相等的质点系统”，就可以借助经典力学中“转动惯量”与“空间对称性”的完美契合。
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第一步：建立质心坐标系

假设这三个顶点的质量均为 1。由于平移坐标系不改变三角形的边长，为了计算简便，我们不失一般性地假设：
a + b + c = 0
在物理上，这意味着系统的质心（Centroid）恰好落在 y 轴上。此时，三个点到 y 轴的垂直距离就是它们各自的 x 坐标绝对值。

第二步：引入转动惯量

在刚体动力学中，一个离散质点系统关于某条轴的转动惯量（Moment of Inertia）定义为各质点质量与其到旋转轴距离平方的乘积之和。

由于每个点的质量为 1，该系统关于 y 轴的转动惯量 I_y 就可以直接写为：
I_y = a^2 + b^2 + c^2

第三步：对称性 椭圆退化为圆

在线性代数和力学中，任何二维质量分布在不同方向上的转动惯量，都可以用一个“惯性椭圆（Inertia Ellipse）”来几何化地描述。

然而，正三角形具有 120 度（以及 60 度交替）的旋转对称性。也就是说，如果我们在平面上把这个三角形旋转 120 度，它的质量分布在空间中是完全不可区分的，其惯性椭圆在旋转后也必须与自身重合。

在几何上，一个椭圆如果绕中心旋转 120 度还能与自身重合，它唯一的可能就是：长轴等于短轴——它退化成了一个完美的“圆”！

既然惯性椭圆是一个圆，这意味着该系统表现出各向同性：无论整个三角形在平面内以什么角度旋转，它关于穿过质心的任意一条轴的转动惯量都完全相等。

第四步：旋转到最简状态求解

既然转动惯量在任意角度下都是一个恒定不变量，我们就可以在脑海中把这个正三角形旋转到一个最容易计算的角度：让其中一个顶点刚好落在 y 轴上。

此时：
1. 落在 y 轴上的那个顶点，其 x 坐标变为 0。
2. 另外两个顶点由于关于 y 轴对称，且彼此之间的边长为 L，它们的 x 坐标必定分别为 -L/2 和 L/2。

在这个特殊角度下，我们重新计算系统关于 y 轴的转动惯量：
I = 0^2 + (-L/2)^2 + (L/2)^2
I = L^2 / 4 + L^2 / 4
I = L^2 / 2

因为转动惯量是不变量，第二步（任意角度）和第四步（特殊角度）的结果必须严格相等：
a^2 + b^2 + c^2 = L^2 / 2

稍微变形，即可直接得出正三角形边长 L 的表达式：
L = sqrt( 2 * (a^2 + b^2 + c^2) )

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那什么是转动惯量？

百度百科里就有 http://t.cn/A6Qn06RM

甚至在 张量定义 这一节的最后一行，那个形式就可以解释为何“二维质量分布在不同方向上的转动惯量，都可以用一个惯性椭圆（Inertia Ellipse）来几何化地描述。”