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现代物理学中最伟大的理论之一——杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）

它将物理学中的“力”与数学中的“几何”完美地统一在了一起，是目前粒子物理标准模型的基石。不过杨–米尔斯并不是所有"几何"，而是纤维丛（fiber bundle）上的几何。理论把基本相互作用描述为一种规范几何（gauge geometry），使"力"可以用几何中的联络（connection）和曲率（curvature）来描述。

1. 力就是几何的“弯曲”

在牛顿时代，我们认为力是一根看不见的弹簧，把两个物体拉近或推远。但杨振宁和米尔斯提出了一种颠覆性的视角：力本质上是一种几何效应。

隐藏的内部指针：想象你生活的空间里，每一个点除了有上下左右的位置外，还藏着一个"内部空间"，里面放着一个小罗盘；规范场（ Gauge Field）并不是罗盘本身，而是规定你把一个地方的罗盘搬到另一个地方时，应当怎样旋转。

当你在这个空间里移动时，空间本身的几何性质会迫使你手里的罗盘发生旋转或扭曲。

规范场实际上是告诉我们"两个相邻点的内部罗盘应该怎样比较"。这在数学上就是connection（联络）。

2. 威尔逊圈：如何测量这种“力”？

如果你沿着一个闭合回路走一圈，方向没有完全回到原样，那么这个场就存在曲率。

这就是 视频动画一 里的威尔逊圈（Wilson loop）的作用。

想象你拿着一根指向正北的指针，沿着地表从赤道走到北极，再转 90 度走到另一条经线上，最后走回赤道原点。即便一路上都极力保持指针方向不变，回到原点时，它指的方向也和出发时不一样了！这种指针在闭合路径上产生的“角度偏差”，在几何学上叫做曲率（Curvature）。

杨-米尔斯理论最迷人的结论是：几何上的曲率，在物理上表现出来的就是我们感受到的“力”。 指针偏转得越厉害，说明这个区域的力场越强。

曲率对应着场强（field strength），而场强就是产生相互作用的物理量。

3.自相互作用方程Fₓᵧ=∂ₓAᵧ-∂ᵧAₓ+Aₓ×Aᵧ，整个杨-米尔斯理论的心脏。

我们来看看这几个项分别代表什么：Fₓᵧ 就是最终产生的“力”（场强张量 / 曲率）。

∂ₓAᵧ-∂ᵧAₓ这部分被称为“阿贝尔项”（Abelian part）。

它描述了场A在空间中的梯度变化。这一项在麦克斯韦的电磁学理论中就已经存在了。

Aₓ×Aᵧ是杨振宁和米尔斯写下的属于新世界的项。它被称为“非阿贝尔项”（Non-Abelian part）。

为什么Aₓ×Aᵧ如此特别？

在传统的电磁学中，光子负责传递电磁力，但光子本身是不带电的，所以光子和光子之间不会互相吸引或排斥。但这个叉乘项（实际上是李括号=矩阵交换子）则意味着：传递这种力的粒子，本身也能感受到这种力，它们会发生“自己和自己打架”的自相互作用（Self-interaction）。

如果李括号这一项恒为零，就退化成了麦克斯韦电磁学。这是杨–米尔斯与电磁学最漂亮的关系。

正是由于这一非阿贝尔项，量子色动力学（QCD）中的胶子能够彼此相互作用，这被认为是夸克禁闭现象产生的根本原因之一。不过，从数学上严格证明杨–米尔斯理论必然导致禁闭，至今仍是著名的未解决问题，也是克雷数学研究所"杨–米尔斯存在性与质量间隙"千禧年难题的一部分。

4.杨-米尔斯理论的对称性（规范对称性 Gauge Symmetry）

我们在北京把夸克的某个内部指针定义为“红色”，你在巴黎把相同的状态定义为“蓝色”，这完全不影响任何物理测量结果。这种在每一个时空点都能自由定义内部空间坐标轴的对称性，叫做局域规范对称性。正是为了在变换定义时保持物理定律不变，才“被迫”诞生了杨-米尔斯场（也就是力）。

如果要求局域规范对称性成立，那么数学上一种新的场必然出现。

这就是Noether的著名（第二）定理的思想。

ps 都涉及曲率和力，那它和广义相对论有何区别？

一个描述的是时空几何，一个描述的是内部空间上的规范几何。后者 粒子在时空中移动时，是它们身体里这个抽象的数学指针在发生偏转，而不是它们走路的路线变弯了。

时空的每一点都附着着一个内部空间，所有这些内部空间共同组成一个纤维丛（fiber bundle）。

整个时空都长着一个纤维，粒子只是这个纤维上的一个"向量"。

这是很多科普都会混淆的地方。