再一次理解非欧几何，献给三溪中学、温州科高同学们

首先声明：文中黎曼几何指椭圆几何，罗巴切夫斯基几何指双曲几何，因为一个是球面上模型，一个是双曲面上即马鞍面上模型。双曲面有三种，只有一种是马鞍面。

几何分三种：欧氏几何、黎曼几何、罗巴切夫斯基几何。欧氏几何是三角形内角和180º，过直线外一点有且只有一条平行线；黎曼几何是三角形内角和大于180º，过直线外一点没有平行线即任何两直线相交；罗巴切夫斯基几何是三角形内角和小于180º，过直线外一点最少两条平行线。事情的奇异之处是这三种几何都是正确的。

最后问题来了。平面、球面、马鞍面有什么区别？球面、马鞍面上有直线吗？有三角形吗？

你问豆包：“平面、球面、马鞍面这三种用什么概念来刻画它们之间的区别？高斯曲率吗？”

它回答：“对。平面高斯曲率=0，球面高斯曲率＞0，马鞍面高斯曲率＜0。”

平面上两点之间直线最短，球面上两点之间最短的是过大圆劣弧，我们把这劣弧当成球面上直线，三条这样的劣弧构成一个球面三角形。同理把马鞍面上两点之间最短曲线当成直线，把这样的三条曲线围成的图形当三角形。球面上、马鞍面上没有所谓平面上的直线，它们上面直线都是弯曲的。

你问豆包“在欧式几何里三点确定一个圆、有相似三角形、有平行四边形判定定理、有到一定点都相等的点叫圆，这些定义或结论在其他两种非欧几何中是怎样子的？请详细通俗易懂的说明！”

它回答：“此处省略答案，请老师自己问豆包。因为答案很长。”