如何想象弯曲的三维空间？献给三溪中学、温州科高的同学们

这是我写的有关非欧几何第七篇文章了，先看前面几篇，我尽量做到要看懂每篇不需要先看前面几篇，篇篇独立。

我们可以想象曲面的弯曲，比如球面、马鞍面等。为什么能想象？因为我们自己生存的空间是三维空间，而曲面是二维。如果我们要想象三维空间如何弯曲那应当在四维空间里想象。四维空间超出了我们人类大脑的想象力，我们人类是无法想象四维空间的。

刻画曲面的弯曲程度用曲率这个概念。平面曲率=0，球面曲率=大于0的常数，马鞍面曲率=小于0的常数。一个曲面每点处曲率不必恒相等，可以不同点处有不同的曲率。

如何刻画三维空间的弯曲？也是用曲率概念。我们把二维曲面曲率推广为三维空间曲率，类比把二维勾股定理a²+b²=c²推广为三维勾股定理a²+b²+c²=d²。我们生活的三维空间曲率=0，是平直的。三维空间可以弯曲，曲率是可以大于0或小于0。

平面上两点之间直线最短，那我们把曲面上比如球面上两点之间最短的曲线称为测地线，它相当于平面上的直线。

在平直的三维空间里有平面、球面、马鞍面。球面上直线是过两点大圆的劣弧，它其实是弯曲的，球面上没有我们所谓的平面上直线，球面上直线都是弯曲的。

类比上段逻辑，在平直的四维空间里有平直的三维空间，它相当于平直的三维空间里的平面。在平直的四维空间里也有弯曲的三维空间，它相当于在平直的三维空间里有弯曲的球面或马鞍面等。在弯曲的二维球面上直线是过两点大圆劣弧，没有直线，类比在弯曲的三维空间里基本二维曲面不可能是平面，而是弯曲的曲面，即在弯曲的三维空间里是没有平面的，它相当于在二维球面上是没有平面中的直线的。

在前面其中一章中曾经讲到：“在弯曲的三维空间，里面的平面其实是弯曲的曲面，它或是凸的，或是凹的；凸的如球面，对应黎曼几何，凹的如马鞍面，对应罗巴切夫斯基几何。也就是说在弯曲的三维空间是没有我们所谓的平面的，它里面的平面其实如球面或马鞍面。我们在弯曲的三维空间取三点，这三点确定一球面或马鞍面。弯曲的三维空间里的球面或马鞍面相当于平直三维空间里的平面。在平直的三维空间基本元素是平面，在弯曲的三维空间基本元素是球面或马鞍面。如果我们人类生活在弯曲的三维空间其实我们很难发现平面是球面或马鞍面，我们会把球面或马鞍面当成平面。我们在弯曲三维空间研究平面几何就是在球面上或马鞍面上研究几何。球面上三点围成的球面三角形内角和是大于180º。它里面的直线是球面所在球大圆的劣弧。因为球面上只有劣弧最短。在平面上两点之间直线最短，在球面上两点之间大圆劣弧最短。不管是平直三维空间还是弯曲的三维空间，里面两点最短路径统称为测地线。平直的三维空间测地线是线段，弯曲的三维空间比如黎曼几何里测地线是大圆劣弧。”

再下一篇也讲到：“三维空间按曲率分为三类，与二维空间一样。曲率=0的三维空间就是我们所生活的空间，是平直的三维空间，里面所有切面是平面，过直线外一点有且只有一条平行线；曲率＞0的三维空间，所有切面是如球面一样的空间，过直线外一点没有平行线；曲率＜0的三维空间，所有切面是如马鞍面一样的空间，过直线外一点至少两条平行线。注意是“所有切面”。平直的三维空间里其实也有球面或马鞍面，但不是所有切面都是如球面、马鞍面”

同学们现在懂了吗？