一道广州中考题
大罕

一道好题，如同一壶陈年佳酿，初品其香绵长，再品其味醇厚。这道广州中考题，便给我如此感受。

【题目】如图1，在△ABC中，D是BC上的点，AB=CD， ∠DAB= 60°， ∠ABC=40°，求 ∠ACD．

【解法1】
延长AD至O使得AO=AB，以O为圆心OA为半径作圆O，作OE//BC交圆于E，如图2，
由△OAB为正三角形，推出四边形OCDE为平行四边形，
又因为四边形DOEB为等腰梯形，所以CD=AB=OA=OB=OE=OC.
由∠AOC=140°，知∠ACD=∠ACO-∠DCO=50°-20°=30°.

【解法2】
在DB上取点E，使AE=AD，如图3，
则∠ADE=∠AED=80°，且∠ABE=∠AEB=40°，∴AE=BE.
以CD为边作正△CDF，连接AF，则∠ADF=∠CDA-∠CDF=40°，从而可知△ABE≌△FDA，则AF=AE=AD，
又∵CF=CD，∴AC是线段DF的中垂线，
∴AC平分∠FCD，即∠ACDF=(1/2)∠FCD=30°.

【解法3】
在△ABD中，由正弦定理，得AB=2ADcos40°，
在△ACD中，设 ∠ACD=x，则CD=ADsin(80°-x)/sinx，
∵ AB= CD，
∴2cos40°=sin(80°-x)/sinx，
∴ sin80°cosx-cos80°sinx=2sinxcos40°，
整理得tanx=sin80°/(2cos40°+cos80°)，
而2cos40°+cos80°=cos40°+cos80°+cos40°=cos20°+cos40°=√3cos10°，
∴tanx=sin80°/√3cos10°=1/√3，
∴x=30°

【评论】本题简约而含蓄，图形素朴无华，却暗藏机锋。初次相见，你或许会为之凝神——条件平实，以为不会太难。但是真正做它时，却费尽周折。明明路在眼前，可是走不到这条路上。

几何法终于能大显身手。解法一延长AD至O，构造正三角形，再以O为圆心作圆，竟将原题中的边长条件一一转化为圆中的半径关系，最后凭借平行四边形和等腰梯形，轻巧收官。

解法二构迨一个等腰三角形，引来一对全等三角形，利用三线合一性质一举获解。如同一位高超的魔术师，凭空仙人摘豆。

而解法三的正弦定理，巧把AB= CD化为三角方程，依赖三角变换，轻松地拿到方程的解为30度。

几何法、代数法各得其所，各亮绝活，争奇斗艳。 #中考数学##初中数学[超话]# http://t.cn/A6kIZUrK