弹性散射问题中有个漂亮结论是，重粒子m1碰撞静止的轻粒子m2时，在不同碰撞参数下，其偏转角存在与入射速度无关的极大值arcsin (m2/m1)（图1）。它在相对论下同样成立，不过证明通常涉及繁琐计算
答案的简明性提示我们，它应该像非相对论情况一样有简单几何解释。为此可以作Wick转动变换到欧几里得时空，这时4-动量在时空坐标轴上的投影依然是能量和动量，其长度依然是质量（采用自然单位制），只不过现在长度和角度的计算都完全服从欧氏几何，能量维与一个动量维没有任何区别
在图2中，两个粒子的4-动量长度m1和m2在碰撞前后不变，而它们的4-动量之和在碰撞前后守恒，因此这三个4-动量构成的三角形在碰撞前后形状不变，由此就得到碰撞后的动量
对于斜碰，需要增加一个垂直纸面的动量维度。此时三个4-动量的长度和总4-动量的方向依然不变，因此以总4-动量为轴转动产生的所有三角形都满足动量和能量守恒，分别对应不同碰撞参数下的散射结果。把三角形投影到动量平面，就得到两个粒子的散射角（图3）。三角形的转动顶点在三维时空中划出的轨迹是一个圆，它在动量平面内的投影则是椭圆（它其实就是质心系中所有可能末态动量的集合，图1即其经典极限）。当碰撞后的粒子动量与该椭圆相切时，即取得最大偏转角。这样问题就转化为纯几何问题，不过依然需要一定量（但比纯代数方法简单得多）的几何计算（参图4；图中是针对闵氏时空的，但略作修改就适用于欧氏时空），才能证明该角度是arcsin (m2/m1)
更直观的解法是构造一个以m1和m2为边的直角三角形。为此把这些4-动量的方向矢量（4-速度）表示在单位球面上，能量轴对应南北极，动量平面对应赤道（图5）。如此一来，总4-动量对应单位球面上的定点，不妨设其经度为0度；随着三角形转动，m1的 4-动量在球面上划出一个以该定点为圆心的小圆；最大偏转角就是小圆上的最大经度，对应与小圆相切的子午线。我们对图5左侧的球面直角三角形运用正弦定理，再对右侧的平面三角形运用正弦定理，即可直接得到最大偏转角为arcsin (m2/m1)。由于表达式中只有质量，它在闵氏时空的形式依然不变

这个优美的几何解释是我在伊根的《正交》里看到的，不过他似乎也没发现简单的几何证明（小说中的人物最后还是用代数方法证明的）。去年我尝试过证明却失败了（感谢@伽利详 发现了我当时证明中的错误），当时的AI也无法解决这个问题。前些天我又问了一次，得到了这个漂亮解答

其实不少狭义相对论问题变换到欧氏时空（若熟悉双曲几何则可省去变换）都能直观几何求解，比如图6这两题一看答案就知道是余弦定理，反过来只要画出图就能一眼能看出答案