全国一卷（数学）第11题深度研究
大罕

本是一道多项选择压轴难题。它综合交汇了直线与圆位置关系、两圆位置判定、弦长计算公式、函数最值求解等考点，几何构图新颖，命题视角跳出常规题型的套路，综合性强，对几何直观、逻辑推理、分类思辨与代数运算能力均提出了较高的要求，区分度突出。

【题目】已知圆C1：(x+1)^2+y^2=1，圆C2：(x-1)^2+y^2=1，和圆C3：x^2+(y-√3)^2=1，直线l：y=kx+b与C1、C2、C3均有两个交点，记被C1、C2、C3截得的弦长分别为s1、s2、s3，则
A k可以取任意实数
B满足s1=s2=s3的直线l共有3条
C满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条
D当b=0时，s1+s2+s3的最大值为(2√21)/3

【解析】三圆圆心依次为C1(-1,0)，C2(1,0)，C3(0,√3)，任意两圆心间距均为2，三圆半径均为1，故△C1C2C3是边长为2的等边三角形，且三个圆两两外切。如图，特征清晰的几何图形，为后续弦长分析提供直观支撑。

①选项A：三圆两两外切，存在三组切点，每一组两个切点唯一确定一条公共割线，共三条直线；经计算，这三条直线截三个圆所得弦长完全相等，满足s1=s2=s3，不存在其他直线能使三段弦长同时相等，符合条件的直线恰有3条，B正确。

②选项B：直线y=kx+b需同时与三个圆各产生两个交点，意味着直线到三个圆心的距离均必须小于半径1。若k任意取值，必然存在部分斜率，无论b如何调整，无法同时满足三条距离约束，直线无法与三圆同时相交于两点。因此k不能取全体实数，A错误。如图1。

③选项C：由B中三条基准直线，每条对应s1=s2=s3=1，此时s1+s2+s3=3。将这三条直线做微小偏转、上下平移，直线依旧保持与三圆相交，三段弦长之和会大于3；同时还存在其他斜率、截距组合的直线，也能使弦长总和等于3，满足条件的直线数量明显超过3条，C正确。

④选项D：限定b=0，即直线过原点y=kx，结合点到直线距离公式写出三段弦长表达式，构造关于斜率k的目标函数，求函数最大值。因Word内置公式编辑排版受限，完整代数推导过程详见配套附图截图，计算可得s1+s2+s3最大值为(2√21)/3。
综上，本题选择BCD。

【小结】这道题数形结合特征明显，既要看图定性判断直线的条数、斜率范围，敢于且善于从图中快速判断ABC的真伪。对于难度最多的选项D，先要确定破题的突破口，垂经定理求弦长，列出函数进行必要的整理和换元，最后用柯西不等式一举拿下（柯西不等式教材是没有的，属于擦边内容）。
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