全国一卷（数学）第10题探讨
大罕

2026年全国一卷数学第10题为立体几何多项选择题，摒弃往年侧重于点、线、面基本性质的常规考法，命题视角新颖，花样翻新，出乎意料。试题以二面角为载体：棱上有两个定点，两个半平面内各有一个动点，且两动点到棱的距离为定值，构建出看似熟悉、实则变化丰富的空间模型，对学生空间想象、几何推理与逆向思辨能力提出了较高的要求，区分度较强。

【多项选择题】在空间中，A,B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1，若二面角C-AB-D为60°，则( ).
A ∠CAD≥60°
B CD≥√3
C当AB⊥CD时，CD平面⊥ABD
D 当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD

【解答】设点C、D引向直线AB的垂线的垂足分别为C1、D1
①选项A错误(举反例)。
如图1，C1、D1重合于一点，二面角C-AB-D平面角为∠CC1D=60°，显然有∠CAD<∠CC1D=60°，故A错误：

②选项B正确(代数+几何证明)。
如图2，在二面角C-AB-D中，过C作CC1⊥AB于点C1，连接C1D，若AB⊥CD，则AB⊥平面CC1D，可知∠CC1D=60°，在△CC1D中，求CD=√3，故C1D⊥CD，因此CD⊥平面ABD，故C正确；

③选项C正确（线面垂直判定证明）。
如图3，C1、D1在直线AB上，四边形CC1D1F、CEDF均为矩形，则CD^2=CF^2+FD^2=m^2+3≥3，故CD≥√3，即B正确；

④选项D错误（举反例推导）。
如图4，若AB⊥平面ACD，则A为垂足，则∠CAD是二面角C-AB-D的平面角，已知∠CAD=60°，因此不可能有AC⊥AD，故D错误。

【评论】本题涉及二面角及其平面角、点线距离、线线垂直及线面垂直判定，解决途径也有多种，可以建立空间建系，或者空间向量，或纯用空间几何关系推断。
解题关键在于锁定二面角平面角，过两动点向棱作垂线时，两个垂足可以重合也可以分开，分别讨论均有斩获。
无论是举反例辨伪，还是举正例证实，这些既考验学生规范几何证明的基本功，也要求具备快速构造的思辨能力。这是一道兼具思维深度与选拔功能的优质立体几何多选题。
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