全国一卷（数学）第8题
大罕

数学期望是新教材的内容，比较抽象。它所占篇幅不大，放在高中学习新课的末期（往往是高二下暑假）。因于时间紧迫，对这一部分来不及详细讲解，也无时间去充分消化和巩固，一带而过造成了许多概念模糊、题型陌生的薄弱环节。从这一意义上看，2026年全国一卷（数学）第8题就更显难度。

【题目】设U={(x1,x2,x3)|x_i∈{-2,-1,1,2},i=1,2,3}为空间64个点构成的集合，点P(1,1,1)，样本空间Ω=C_U(P)，从Ω中随机取一个点，定义随机变量X如下：对Ω中的每个点(x1,x2,x3)，令X(A)= x1+x2+x3，则X的数学期望为( ).
A-1/21 B-1/63 C0 D1/7

【评讲】
我们知道：若离散型随机变量ξ的分布列是：当ξ分别取x1,x2,…,xn时，对应的概率为p1,p2,…,pn，则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn为ξ的数学期望。
下面，我们就以上述传统定义来求本题的数学期望Ex。
随机变量显然是x_i,i=1,2,3，对应的概率p_i是难点。
古典概率公式是P=m/n，其中n是样本空间Ω的基本事件总数，m是事件X包含的基本事件数。
先求n。依题意，集合U是空间64个点构成的集合，特殊点P(1,1,1) ∈U，样本空间Ω满足Ω=C_U(P)，也就是说Ω是从U中除去点P后剩下的点集，Ω有63个点，即n=63。
在求m之前要插一段话：
每个点(x1,x2,x3)有三个坐标，不妨称为横坐标x1、纵坐标x2和竖坐标x3。三个坐标地位完全对称：①都在全集U内；②分别随机取值于相同的集合{-2,-1,1,2}，因此，由X(A)= x1+x2+x3可知，
EX(A)=E(x1+x2+x3)
=E(x1)+E(x2)+E(x3)=3E(x1),
于是，只须对横坐标x1，求它的m，如下：
当x1=-2时，其余的纵坐标x2和竖坐标x3分别可取4个数字，共有4×4＝16个可能，即m=16；
同理，当x1=-1、x1=2时，m=16；
而当x1=1时，由于点P(1,1,1)排除在外，则m=15，
综上，当随机变量x1（横坐标）分别取-2,-1,1,2时，对应的概率为16/63,16/63,15/63,16/63，
∴E(x1)=(16/63)×(-2-1+1+2)-(1/63)×1=-1/63
故EX=3E(x1)=3×(-1/63)=-1/21。
注：对此题的评论见楼下跟帖，很精彩。
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