zionius
26-06-08 09:00 微博认证:读物博主

在单质点引力场V=GM/R中,竖直方向上的引力梯度∂²V/∂z²=2GM/R³,对应竖直拉伸的潮汐力。由于自由空间引力场散度为0,因此水平引力梯度∂²V/∂x²=∂²V/∂y²=-1⁄2 ∂²V/∂z²=-GM/R³,对应水平压缩的潮汐力(图1)
现在考虑质量为m,半径为r的圆环的引力作用。显然中心引力为0。中轴线上偏离中心微小距离Δz处所受引力场则为-Gm/r²*Δz/r=-GmΔz/r³,因此竖直引力梯度是-Gm/r³,产生挤压潮汐力。由此可知圆环平面内的水平引力梯度是Gm/2r³,产生拉伸潮汐力
由此可见,单质点和圆环产生的潮汐力恰好符号相反,只需让2M/R³=m/r³,两者即可局部相互抵消,在圆环中心附近制造出一个几乎没有潮汐力的均匀重力场,相当于一个引力的“亥姆霍兹线圈”。这就是一些精密实验中的补偿质量块的原理。
考虑地球表面环境,将地球质量和半径代入M和R,我们发现对于半径10 cm的圆环,其质量应为46 kg。若用钨制造,则圆环截面积应为40 cm²,还算现实。但要是重力梯度再大几倍,就没有材料能造出这样的补偿圆环了。(观察2M/R³=m/r³这一形式可以看出,圆环密度至少得是星球平均密度的一两倍)如果在重力梯度较小的太空中,对材料则没这么高要求。
这一方案最早也许是罗伯特·福沃德在《龙蛋》(1980)中提出的。*小说中的中子星质量为太阳的一半,需要把飞船开到距离它400km的同步轨道上。代入开头公式可知一米垂直距离上的重力差约210g,显然人是活不成的。因此小说中使用6颗小行星围绕飞船水平旋转,构成一个半径200 m的“圆环”来抵消中子星的引力梯度。由此可算出每颗小行星质量需要和谷神星相当。这样显然无法构成半径200 m的圆环,小说中是用黑科技让小行星坍缩成类似中子星的东西才得以实现
小说中的飞船是个直径7米的球。编程绘出球内的等效重力如图2,可以看到中子星的引力梯度被抵消得很好,飞船大部分区域内的有效重力不到0.1g。

*按说19世纪应该就有很多人注意到了,只是当时没有应用场景而已。后来福沃德在Flattening spacetime near the Earth, Physical Review D 26(4), 1982中做了详细讨论(图3)

发布于 湖南