#今天要来点数学吗？#

之前介绍过，五次方程在某些情况下是存在根式解的http://t.cn/AXiH5Z5b。但到底有多少是可解的？

日本数学爱好者对可解五次方程的穷举探索~

对于五次多项式 x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e，将各个系数 a, b, c, d, e 在 -10 到 10 的整数范围内遍历，总计 21^5 = 4084101 个多项式。

在其中 3615274 个不可约多项式中，统计能够用根式求解的个数：

→ 结果总共只有 1394 个（约 0.04%）是可解的。

其中伽罗瓦群为五阶循环群 C_5的竟然只有区区 20 个！

从数学理论来看，我们可以从以下几个维度来核实它的合理性：完全正确独立变量有 5 个（a, b, c, d, e），在 -10 到 10 之间包含 0，共有 21 个整数。

总组合数为 21^5 = 4084101 种。1394 除以 3615274 约等于 0.0003855，换算成百分比确实是 约 0.04%。

为什么不可约的占绝大多数？（约 88.5%）

在 408 万个多项式中，有 361 万个是“既约”的（即不可约多项式，不能在有理数域上分解为更低次多项式的乘积）。根据希尔伯特不可约定理（Hilbert's Irreducibility Theorem），如果我们随机写下一个整系数多项式，它大概率是不可约的。剩下的 11.5% 通常是因为它们碰巧有整数根（比如 x=0, 1, -1 等），从而可以轻易分解出一次因式。

为什么“可解”的这么少？（阿贝尔-鲁菲尼定理与伽罗瓦理论）

根据伽罗瓦理论，一个不可约的五次方程能否用根式求解（即套公式解出来），取决于它的伽罗瓦群（Galois Group）。

对于五次方程，伽罗瓦群只能是以下 5 种之一：

不可解S_5（5 阶对称群，元素个数 120）

不可解A_5（5 阶交错群，元素个数 60）

不可解F_{20}（弗罗贝尼乌斯群，元素个数 20）

可解D_5（二面体群，元素个数 10）

可解C_5（循环群，元素个数 5）。

在随机生成的整系数多项式中，伽罗瓦群几乎总是最庞大、最混乱的 S_5 群。只有当多项式的系数满足极其苛刻的隐藏代数关系时，它的伽罗瓦群才会“坍缩”到更小的群。因此，绝大多数五次方程都是属于 S_5 的，也就证明了一般五次方程没有求根公式。这 0.04% 的概率，直观地展现了“可解五次方程”在代数宇宙中是极其稀有的。

为什么 C_5 群只有区区 20 个？

在这三种可解的群里，C_5是条件最变态、最苛刻的一个：判别式必须是完全平方数：它的根的差的平方乘积必须是一个整数的平方。所有根必须全是实数：因为 C_5群的阶数是 5（奇数），里面不存在阶数为 2 的元素。如果方程有复数根，那必然是一对共轭复数，共轭操作本身就是一个阶数为 2 的对称变换。

既然 C_5容不下阶数为 2 的变换，这就意味着这个五次方程绝对不能有复数根，必须在坐标轴上穿过 x 轴整整 5 次。

要在系数值域仅为 [-10, 10] 的狭小“盒子”里，凑出一个既不可约、判别式又是完全平方数、且拥有 5 个实数根的整系数五次多项式，难度堪比大海捞针。这就是为什么 400 万个里只抓到了 20 个的原因。

利用 PARI/GP 进行的这次枚举，涉及大约 400 万个伽罗瓦群的判定计算（执行时间），大概需要花费多少时间？

所花费的时间约为42分钟。事先用系数 -5～+5 也同样进行了探索，那个 11⁵ = 16万1051 个的判定不到2分钟就完成了。