如何理解“非欧几何”？献给三溪中学、温州科高的同学们

这是我写的第三篇有关这类文章了，请同学们先看前两篇。

几何分三种：欧氏几何、黎曼几何、罗巴切夫斯基几何。欧氏几何是三角形内角和180º，过直线外一点有且只有一条平行线；黎曼几何是三角形内角和大于180º，过直线外一点没有平行线即任何两直线相交；罗巴切夫斯基几何是三角形内角和小于180º，过直线外一点最少两条平行线。事情的奇异之处是这三种几何都是正确的。

同学们，你就把黎曼几何世界、罗巴切夫斯基几何世界当成童话世界，它就存在于宇宙的某处。这样理解会接受这两种几何。谁说童话世界只是幻想？其实它也是真的。它存在于人类的内心深处和宇宙的某个地方。哲学家康德说：“世上只有两件东西能够深深地震撼人们的心灵，一是我们头顶上灿烂的星空，一是我们心中崇高的道德准则。”在童话世界里，王子、公主结局都是温暖美满的。

下面我们来理解“弯曲的三维空间”是怎么回事？

理解弯曲的三维空间首先要理解二维空间如何弯曲。二维空间有平面、球面、马鞍面等。如何刻画二维空间的弯曲？那就是用“曲率”这个概念。曲率=0，是平面；曲率＞0是如球面；曲率＜0是如马鞍面。注意，以上曲率都是常数。在二维空间，曲率如何定义？这个定义是很抽象难理解。为了大家形象生动通俗易懂的理解二维曲率概念，请同学们先去理解一维曲线曲率概念。为了理解一维曲线曲率概念，先去理解平面上曲线曲率概念。曲线不但可以在平面上，也可以在空间里。理解之后，大家再问豆包“二维空间里曲率如何定义？”就可以了。大学里《微分几何》这门课就会学到二维曲率概念。如果看不懂就可以跳过，我们只需知道有这回事就可以了。

同学们，豆包对“二维空间里曲率如何定义？”的回答很抽象，很难理解。我们可以这样问豆包“如何直观形象通俗易懂的学习二维的‘曲率’概念？”它回答：“http://t.cn/AX6RuYLL”

二维曲面比如平面、球面、马鞍面是在三维空间中。于是问题来了，怎样的三维空间里有比如平面、球面、马鞍面等曲面？

为了弄清这个问题，我们要把二维曲率概念推广为三维曲率概念。二维曲率概念直观形象，但三维空间曲率概念我们无法想象，为了能够想象，我们可以让三维空间在四维空间里弯曲。三维空间在四维空间里弯曲类比二维曲面在三维空间里弯曲。于是曲率概念就能类比推广，就像把二维勾股定理推广为三维勾股定理，把三维勾股定理推广为四维勾股定理。二维勾股定理：a²+b²=c²，三维勾股定理：a²+b²+c²=d²。你可以问豆包两个问题：“‘三维空间里曲率如何定义？’，‘如何直观形象通俗易懂地来学习三维空间曲率概念？’”。

三维空间按曲率分为三类，与二维空间一样。曲率=0的三维空间就是我们所生活的空间，是平直的三维空间，里面所有切面是平面，过直线外一点有且只有一条平行线；曲率＞0的三维空间，所有切面是如球面一样的空间，过直线外一点没有平行线；曲率＜0的三维空间，所有切面是如马鞍面一样的空间，过直线外一点至少两条平行线。注意是“所有切面”。平直的三维空间里其实也有球面或马鞍面，但不是所有切面都是如球面、马鞍面。