同学们，非欧几何难在哪里？献给三溪中学和温州科高学生

几何分三种：欧氏几何、黎曼几何、罗巴切夫斯基几何。欧氏几何是三角形内角和180º，过直线外一点有且只有一条平行线；黎曼几何是三角形内角和大于180º，过直线外一点没有平行线即任何两直线相交；罗巴切夫斯基几何是三角形内角和小于180º，过直线外一点最少两条平行线。事情的奇异之处是这三种几何都是正确的。

人类进入21世纪，现在是2026.5.23，我在读大学时学校并没教非欧几何，我1976年生。我觉得现在大学里不但要学非欧几何，就算是高中生也可以理解非欧几何。

理解非欧几何的难点在哪里？那就是三维空间也会弯曲。三维空间弯曲我们无法想象。我们能想象的是二维曲面在三维空间里可以弯曲。现实中，我们很容易让一张纸弯曲成圆柱。

类比二维曲面可以在三维空间弯曲，那三维空间在四维空间里也可以弯曲。物理上的弦理论假设宇宙是十一维。弦理论是人类目前刻画宇宙最完美理论，它就是难在难以验证，验证弦理论需要银河系这么大的粒子加速器。

同学们，我们生活的空间是平直的三维空间。三点确定一平面，三角形内角和180º。在宇宙黑洞附近三维空间不是平直的，而是弯曲的。

什么是黑洞？

用大白话讲：黑洞就是引力强到极致的天体，连光都逃不出去。

一、简单理解

万物都有引力，地球引力能把你牢牢吸在地面，想挣脱就得达到逃逸速度。

黑洞的逃逸速度超过光速，而光速是宇宙最快速度，所以任何东西——光、石头、飞船、信号，只要掉进去，永远出不来，肉眼也看不见它。

二、它怎么来的

大质量恒星（比太阳重很多倍）晚年燃料耗尽，内部撑不住自身巨大重量，整个星体向内急剧坍缩，体积越缩越小、引力越来越强，最后就变成了黑洞。

我们在平直的三维空间可以看到三点确定一个平面，三角形内角和180º。那我们在弯曲的三维空间我们会看到什么？比如你在宇宙黑洞附近，你会看到什么？

在弯曲的三维空间，里面的平面其实是弯曲的曲面，它或是凸的，或是凹的；凸的如球面，对应黎曼几何，凹的如马鞍面，对应罗巴切夫斯基几何。也就是说在弯曲的三维空间是没有我们所谓的平面的，它里面的平面其实如球面或马鞍面。我们在弯曲的三维空间取三点，这三点确定一球面或马鞍面。弯曲的三维空间里的球面或马鞍面相当于平直三维空间里的平面。在平直的三维空间基本元素是平面，在弯曲的三维空间基本元素是球面或马鞍面。如果我们人类生活在弯曲的三维空间其实我们很难发现平面是球面或马鞍面，我们会把球面或马鞍面当成平面。我们在弯曲三维空间研究平面几何就是在球面上或马鞍面上研究几何。球面上三点围成的球面三角形内角和是大于180º。它里面的直线是球面所在球大圆的劣弧。因为球面上只有劣弧最短。在平面上两点之间直线最短，在球面上两点之间大圆劣弧最短。不管是平直三维空间还是弯曲的三维空间，里面两点最短路径统称为测地线。平直的三维空间测地线是线段，弯曲的三维空间比如黎曼几何里测地线是大圆劣弧。

在球面上几何就是黎曼几何，在马鞍面上几何就是罗巴切夫斯基几何。

黑洞引力会弯曲周围时空，在黑洞附近我们必须用黎曼几何来描述。