初二下，一道分段函数题的详细讲解
大罕

如果函数的定义域分为若干段，每一段的函数关系式不同，这样构成的函数称为分段函数。
分段函数是高中数学常见的函数类型。它第一次出现，则在初二教材中。下面一题是沪版初中数学教材第25章一次函数的一道习题。

【教材真题】
甲骑自行车以10km/h的速度匀速行驶，0.6h后，乙骑摩托车从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行驶，速度为25km/h，试回答下列问题：
(1)设甲出发xh后，甲离开出发地的路程为y₁km，乙离开出发地的路程为y₂km，分别求出y₁,y₂与x之间的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围；
(2)在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图像；
(3)当乙追上甲时，他们离出发地的路程是多少千米?

【理解题意】
① “甲骑自行车行驶，0.6小时后，乙骑摩托车行驶”，
理解为：甲，乙出发的时间统一按甲的时间计算，也就是说，甲在0时出发，则乙在0.6时出发(晚出发0.6小时).
② “乙从同一地点出发与甲同线路且同向匀速行驶”，
理解为：强调乙行驶与甲有三同(同地，同路，同向)，简化运动背景，只研究匀速追及的数量关系。
③ “设甲出发x小时后，甲，乙行驶的路程分别为y₁,y₂公里”，
理解为：两个函数共用统一时间自变量，函数值均为行驶路程，这是构建分段函数模型的关键前提。

【解题过程及思考】
第⑴小题，写出函数关系式及自变量的取值范围。
甲函数的表达式比较单纯，全程匀速行驶，属于正比例函数：y₁=10x(x ≥0).
而乙的运动过程存在时间分界点x=0.6，前后运动状态不同，必须用分段函数描述：
第一段：0≤x<0.6，乙尚未出发，停留原地，路程恒为0，即y₂=0;
第二段：x≥0.6，乙正式出发，实际行驶时间为x-0.6小时，路程解析式y₂=25(x-0.6)=25x-15.
所以，乙的路程分段函数表达式为：y₂=0(0≤x<0.6)，或y₂=25x-15.（x≥0.6)。

第⑵小题，在同一直角坐标系内，作甲、乙函数的图像。
甲的函数图像是从原点出发，斜率为10的一条射线；
乙的分段函数图像由两部分组成：第一段是x轴上从(0,0)到(0.6,0)的线段（不包括右端点），第二段是从点(0.6,0)出发，斜率为25的射线（包括起点），两段图像共同构成完整的分段函数图像。

第⑶小题，甲乙相遇时各自走的路程。
乙追上甲，此时两者路程相等，即y₁=y₂.
追及一定发生在乙出发之后，故选用分段函数第二段解析式，联立得：10x=25x-15，解得x=1，代入得路程：y₁=10×1=10(km).
即甲出发1小时后，乙追上甲，此时离出发地路程为10千米。

【结语】
作为分段函数的初次见面，应该将此题充分理解，讲透讲活。
甲乙两人先后同向同路匀速行驶，时间作为统一的自变量，路程作为因变量。其中甲全程匀速运动，函数关系简洁；而乙晚于甲出发，在出发前路程保持为0，出发后才开始匀速行驶，天然具备两段不同变化规律，恰好符合分段函数的定义特征。
通过本题可初步掌握：如何根据实际时间节点划分定义域区间，分段建立函数解析式，利用函数图像特征及函数值相等求解追及问题，是理解分段函数刻画实际变化过程的典型范例。
需仅记两点：
第一，实际应用问题中，只要自变量在不同取值区间函数关系不同，就要用分段函数的表达式；
第二，绘制分段函数图像时，必须按区间分段作图，並注意端点的虚实。
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