#今天要来点数学吗?# #复分析# 和#多项式[超话]#

Gauss–Lucas 定理

设 𝑃(𝑧) 是一个复多项式，那么它的导数 𝑃′(𝑧) 的所有零点（根）都位于 𝑃(𝑧) 的零点的凸包（convex hull）之内。

凸包就是包含所有根的最小凸集，可以想象成用橡皮筋把所有根圈起来形成的区域。

其实有更强的结构：

每一阶导数的根都是原始根的 凸组合（convex combination）。

直观理解，就是每次求导，新的根会“被拉向”原来的根的凸包内部。多次求导后，根会逐渐收缩，最终趋向于原始根的 重心（barycenter）。

例如，一个 12 次多项式经过 11 次求导后，剩下的一次根就是所有原始根的平均值（#每日一题[超话]# 你能证明这一点吗？）

视频二是一个物理论证方法~