耐人寻味的三角化简题
大罕

下面一道三角化简题，竟将三角形的三条边与三个内角尽数关联，正弦余弦正切齐全亮相，推演之后结果却出乎意料地简洁，耐人寻味！

【题目】在锐角三角形ABC中，若b/a+a/b=6cosC，则 tanC/tanA+tanC/tanB=______．
【解析】tanC/tanA+tanC/tanB
=tanC·[sin(A+B)/sin Asin B]
=sin²C/sinAsinBcosC
=c²/abcosC．
由已知b/a+a/b=6cosC和余弦定理，有
6ab·cosC=a²+b²=2abcos C+c²，
∴4ab·cosC=c²，
∴c²/abcosC=4．
即tanC/tanA+tanC/tanB=4．

【点评】此题兼具结构之美与奇异之美．精妙的数学题，往往结构和谐优美、面目娇好可亲，如同唐诗人李白所吟“清水去芙蓉，天然去雕饰”，解法又能出奇制胜，令人寻味之余，不禁击节叫好，故有如上文字涌出．

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