一道经典几何题的多解探究
大罕

在平面几何的学习中，一题多解是提升思维品质的有效途径．它能让我们从不同角度审视问题，沟通几何、三角、代数等知识，做到举一反三、触类旁通．下面以一道构造精巧的直角三角形问题为例，分享三种精彩解法，共同感受数学解题的魅力．

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AB边上一点，AD=2BC，且∠ACD=45°，求A.

解法一：平几法
如国1，过D作DE丄DC交AC于点E，作EF丄AB于F，
由△BCD≌△FDE，则BC= FD，
又AD=2BC，
∴F是AD的中点，
∴EA= ED，
∴∠A=(1/2)∠DEC=22.5°.

解法二：三角法
过D作DE丄AC于E，设∠A=α，则∠BCD=45°-α，
∵BC=CDcos(45°-α)，
CD=(√2)DE，DE=ADsinα，
∴BC=(√2)DEcos(45°-α)
=(√2)sinαcos(45°-α)AD，
∴(2√2)sinαcos(45°-α)=1，
解得α=22.5°.

解法三：解析法
如图，建立直角坐标系，设B(0,0)，C(m,0)，D(0,n)，A(0,2m+n)，
k_CA=(2m+n)/(-m)，k_CD=n/(-m)，
tan∠ACD=tan45°=1，
∴[n/(-m)+(2m+n)/m] /[1+(n/-m)(2m+n)/(-m)]=1，
∴(2m^2)/(m+n)^2=1，
解得n=(√2-1)m，
∴tan∠A=BC/BA=m/(2m+n)=1/(√2+1)=√2-1，
∴∠A=22.5°.

本题条件简洁，却内涵丰富。三个解法分别展现三个年级段的数学特质．
解法一巧妙运用辅助线，构造直角、等腰三角形，尽显几何直观的美妙．初二学生可以接受．
解法二充分利用45°这一条件，解三角形，体现代数变换的神奇．高一学生可以接受．
解法三按照常规思路，用坐标方法实现数形结合，轻松打造．高二学生可以接受．
此可谓：
三种思路，殊途同归．
一题多解，灵活机动．
匠心独运，巧思天成．
探幽析微，妙法无穷．
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