正定二次型的判定

设 f = X’AT 是实二次型， A 为实对称矩阵，则以下条件互相等价，都可以用来判定它是正定二次型：

1. 定义判定：对任意一组不全为零的实数 x₁ x₂ x₃……，都有 f(x)>0 ，则该二次型正定。

2. 标准形判定：二次型化成标准形后，所有平方项的系数全为正数，则二次型正定。

3. 惯性指数判定：二次型的正惯性指数等于变量的个数 n ，则二次型正定。

4. 特征值判定：实对称矩阵 A 的所有特征值都大于零，则对应的二次型正定。

5. 顺序主子式判定（西尔维斯特判别法）：矩阵 A 的所有顺序主子式都大于零，则二次型正定。

6. 合同判定：矩阵 A 与单位矩阵 E 合同，则二次型正定。