三谈连云港市2025年中考压轴题
大罕

前文给出压轴题第⑵问三种解法http://t.cn/AXV4RDaB，本文对第⑶问给出两种解法．

【题目】如图1，在正方形ABCD的边AB,BC上分别取点E,F，使AE=BF，AF交DE于点O，连接AC，过点F作FG丄AC，垂足为G，连接GD、GE，设DE交AC于点P，GE交AF于点Q，
⑴求证：GD=GE，GD丄GE；
⑵设AD=3，AE=1，求QF的长；
⑶设AD=3，当△DPG的面积最小时，求AP的长.

【第⑶的解法】
【证明一】（构造图形，利用三点共线证明线段最短．）
由(2)可知DG=GE，DG⊥GE，∠GDP=45°，
∠PHG=2∠GDP=90°，HP=HG，△HPG是等腰直角三角形，
HR=PR=GR=(1/2)PG=r，∴PG=2r．
正方形ABCD中，AD=3，△ACD是等腰直角三角形， AC=(√2)AD=3√2，
又DT=AT=CT=(1/2)AC=(3√2)/2，
S(△DPG)=(1/2)PGxDT=[3(√2)/4]PG
可见当PG最小时，△DPG的面积最小，
由于PG=(√2)r，因此当r最小时，△DPG的面积最小．
注意到DH+HR=r+(√2/2)r=(1+√2/2)r，
又∵当DH+HR最小时，△DPG的面积最小，由点到直线的最短距离可得：
当D、H、R三点共线，且DR丄AC时，DH+HR最小，此时如图2，点T与R重合，则有
DR=(1+√2/2)r=(3√2)/2，
解得：r=3√3-3，
PR=(√2/2)r=(6-3√2)/2，
AP=AR-PR=AT-PR
=(3√2)/2-(6-3√2)/2=3√2-3.

【证明二】(解析法)
如图建立直用坐标系，设A(0,0),D(0,3),
E(m,0),F(3,m),G((m+3)/2,(m+3)/2)
联立直线OE与AC方程，即
3x+my=3m，且y=x，
解得点P的横坐标为x=(3m)/(m+3)，
PG=√2[(m+3)/2-3m/(m+3)]
=(√2/2)[(m+3)+18/(m+3)-6)]
≥(√2/2)(6√2-6)
=6-3√2．
当旦仅当 m+3=18/(m+3)，即m=3√2-3时取"="号，
此时点P的模坐标x_P为
9(√2-1)/(3√2)=(√2-1)/√2，
∴AP=(√2)•(x_P)=3√2-3 ．

【小结】以上两种解法各有侧重，构造图形法对几何模型与性质的掌握要求较高，解析法更注重代数运算与公式应用，均为解决几何最值问题的经典方法．
是一道兼具综合性与思维性的压轴考题，在初中是难题，在高中是中档题．
#中考[超话]##高中数学##初中数学[超话]# http://t.cn/AXV4RDJl