2025年连云港市中考数学第27题第⑵问的详解
大罕

前文http://t.cn/AXVv9eXY对第(1)问给出了三种解法，本文对第(2)问也给出三种解法．如下：

【题目】如图1，在正方形ABCD的边AB,BC上分别取点E,F，使AE=BF，AF交DE于点O，连接AC，过点F作FG丄AC，垂足为G，连接GD、GE，设DE交AC于点P，GE交AF于点Q，
⑴求证：GD=GE，GD丄GE；
⑵设AD=3，AE=1，求QF的长；
⑶设AD=3，当△DPG的面积最小时，求AP的长.

【第⑵题的解法】
【解法一】（分段计算法）
∵Rt△ADE≌Rt△BAF，∴∠ADE=∠BAF，
∴DE⊥AF，如图1，
在Rt△ADE中，由射影定理，AE²=OE×DE，
∴OE=AE²/DE=1/√10，
在Rt△AOE中，
OA²=AE²-OE²=1-1/10=9/10，
∴OA=3/√10，
由⑴知，∠OEQ＝45°，
∴△EOQ是等腰直角三角形，
故OQ=OE=1/√10，
∴QF=AF-(OA+OQ)
=√10-(1/√10+3/√10)=(3/5)√10.

【解法二】（三角法）
∵∠GQF=∠CFG=45°，
∴∠FGQ=∠AFB=arcsin(3/√10)，
在△GQF中，由正弦定理，有
QF/sin∠FGQ=GF/sin∠GQF，
即QF/sin[arcsin(3/√10)]=√2/sin45°，
∴QF=(3/√10)×2=(3/5)√10.

【解法三】（解析法）
如图3建立直角坐标系，则D(0,3)，E(1,0)，F(3,1)，G(2,2)，
直线AF：y=(1/3)x，
直线EG：y=2x-2，
联立，解方程组得AF与EG的交点Q(6/5,2/5)，
∴QF²=(3-6/5)²+(1-2/5)²=90/25，
∴QF=(3/5)√10.

【小结】以上三种解法分别用直角三角形的射影定理、高中三角形的正弦定理和解析法三种方法，殊途同归．
其中射影定理虽不是初中教材必修内容，但可由相似三角形方便得到．至于高中方法，则供教师参考．
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