等腰直角三角形旋转60°求线段长
大罕

这是一道有难度的几何综合题．以两个共顶点的等腰直角三角形为背景，通过旋转60°构造出新的图形，要求计算两条线段之间的垂线段长度．题目涉及旋转性质、全等三角形、平行四边形、勾股定理以及等积法等多个知识点，解法巧妙，蕴含了丰富的思想方法，对培养几何直观和逻辑推理能力具有很好的价值．

【题目】如图1，△AOB与△DOE均为等腰直角三角形，B,O,E在同一直线上，AO=BO=10，DO=EO=6，现将Rt△DOE绕点O顺时针旋转60°，得到△D₁OE₁，D与D₁对应，连接AD₁,BE₁，过点O作OC⊥BE₁，交BE₁于点C，交AD₁于点F，求CF的长.

【详解】整个计算分为两个步骤.
第一步，计算OF的长.
过点A作AM//OD₁，交OF的延长线于点M，如图2，
易证△AOM≌△BOE₁，∴AM=OE₁=OD₁，∴AOD₁M是平行四边形，
∴F是AD₁的中点.
作DT⊥OA于点T，由∠TOD₁=60°，OD₁=6，得OT=3，D₁T=3√3，
∴AT=10-3=7，
∴AD₁²=27+49=76.
在△AOD₁中，根据定理“平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和”，则有
2(OA²+OD₁²)=AD₁²+(2×OF)²，
∴ 2(100+36)=76+4×OF²,
解得 OF=7.

第二步，计算OC的长.
作E₁H⊥BE于点H，
在Rt△OHE₁中，HE₁=OE₁sin60°=6×(√3/2)=3√3.
在Rt△BHE₁中，BE₁²=BH²+HE₁²=(OB+OH)²+ HE₁²=169+ 27=196，
∴BE₁=14.
在△OBE₁中，用等积法，有BE₁×OC=OB×HE₁，
∴ 14×OC=10×3√3，解得OC=(15√3)/7.
综上，CF=OF+OC＝7+(15√3)/7.

【小结】本题的解答分为两个清晰的步骤：第一步求OF的长，通过构造平行四边形巧妙地发现点F是AD₁的中点，进而利用平行四边形对角线平方和定理求得OF；第二步求OC的长，借助三角函数和等积法轻松得出结果．整个解题过程体现了“转化”与“构造”的思想，展现了旋转问题中常见的中点处理技巧和等积法的灵活运用．
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