一道趣味几何题
大罕

【题目】如图，在矩形PMQN中，作MH⊥PQ 于H，△PMH, △QMH,△PQN的内切圆半径分别为a,b,c，求证：PQ=2c²/√(x²+y²)．

【解】设PM=x,PN=y，则PQ=√(x²+y²)．
在Rt△PQN中，c=(1/2)(x+y+√(x²+y²)，
∴x+y+√(x²+y²)=2c,
在Rt△PMH中，由射影定理，
PH=PM²/PQ=x²/√(x²+y²)，
∴a=1/2(PH+MH-PM)
=(1/2)[x²/√(x²+y²)+xy/√(x²+y²)-x]，
在Rt△QMH中，同理有
b=(1/2)[y²/√(x²+y²)+xy/√(x²+y²)-y]，
∴a+b的值经化简得a+b=c(x+y)/√(x²+y²)．
∴a+b-c=[c(x+y)/√(x²+y²)]-c
=c[(x+y)-√(x²+y²)]/√(x²+y²)
=2c²/√(x²+y²)，
即PQ=2c²/√(x²+y²)得证．
【余兴】除夕菜肴芳，研题添佐香。
初一发趣题，流年韵味长。
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