一道含45°角几何题的深度解析
大罕

文[1][2]探讨了含45°角的几何题中线段BD取最小值的情形．这道题本可作为竞赛训练的素材，却出现在成都七中初二上学期的期末试卷中，着实令人意外．上述文章及评论区虽已给出5种巧妙解法，但解题之余，仍有疑问萦绕心头：此题是否存在最大值？最值何时取得？其几何背景又是什么？

本文拟从代数与几何两个维度，全面深入地剖析这道含45°角的几何题，旨在揭示问题的内在逻辑与几何美感，供感兴趣的读者参考．

【修改后的题目】如图1，在△ABC中，∠C=45°，AB=4，D是边AC上一点，且AD∶BC=1∶(√2)，试求BD长的最值，以及何时取得．

【解析】由∠C=45°(定值)知，点C在一个以AB为弦、圆周角为45°的圆O的优弧上，该弧的弧长为整圆的3/4，所以，以AB为边可作一个正方形ABPQ内接于该圆，如图2．

依题意，D点在边AC上，且BC=(√2)AD，故BC≤(√2)AC，当BC为圆O直径时，BC=(√2)AC．
设∠BAC=α，则α∈(0,π/2]，
过B作BE⊥AC于E，则BE=AD=4sinα，
作DF⊥AB于F，则AF=4sinαcosα=2sin2α，FD=4sin²α=2-2cos2α，
∴ BD²= FD²+ FB²=(2-2cos2α)²+(4-2sin2α)²
=24-8(2sin2α+cos2α)
=24-8(√5)sin(2α+ arctan(1/2))，(※)
由0<α≤π/2，可得：
arctan(1/2)<2α+arctan(1/2)≤π+arctan(1/2)．
令θ=2α+arctan(1/2)，于是，(※)化为
BD²=24-8(√5)sinθ，其中θ∈(arctan(1/2),π+arctan(1/2)]．

易知，当θ=π/2时，sinθ最大值为1，
∴BD²最小值为24-8(√5)，故BD的最小值为2(√5)-2；
此时2α+arctan(1/2)=π/2，解得α=(1/2)arctan2.
另一方面，当θ=π+arctan(1/2)时，
sinθ最小值为sin[π+arctan(1/2)]
=-sin[arctan(1/2)]=-1/√5，
∴BD²最大值为24-8(√5)(-1/√5)=32，故BD的最大值为4√2，
此时2α+arctan(1/2)=π+arctan(1/2)，
即α=π/2.

【小结】题目的几何背景：边长为4的正方形ABPQ内接于圆O，点C在半圆BPQ上运动（不含B，含Q），满足BC=(√2)AD，求BD长的最值．
解答过程的几何解释：
⑴最小值.由代数计算知，当∠BAC=(1/2)arctan2时，BD有最小值2(√5)-2.
从几何意义看，设M是AQ的中点，连接BM交AC于点D，BD符合题意，见图4，∠BAC=∠AQD=(1/2) ∠AMB=(1/2)arctan2.
⑵最大值. 由代数计算可知，当∠BAC=π/2时，BD有最大值4.
从几何意义看，当点C与Q重合时，点D亦与Q重合，符合题意，见图5，再由∠BAC=π/2，知BD=(√2)AD=4√2．

有朋友说：“感觉上，这道题用三角函数‘不划算’．”
这里需要说明的是：求BD的最值，归根结底是确定它的取值范围．几何上的直观感受固然能帮我们看出大致趋势，但要想得到确切的结论，最可靠的方法还是建立函数关系．
因此，本文基本思路是：先从代数的角度进行探讨，再用几何直观加以印证．

【参考资料】
[1]一道45°角几何最值题的两个妙解 http://t.cn/AXt7ARbH
[2]一道含45°角几何最值题的又一几何解法 http://t.cn/AXtq4HNf
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