一道含45°角几何最值题的又一几何解法
大罕

上文http://t.cn/AXt7ARbH)对一道含45°角几何最值题给出两个解答．本文又给出一个解法，其中要用到简单的三角变形．

【题目】如图，在△ABC中，∠C=45°，AB=4，D是边AC上一点，且AD∶BC=1∶√2，求BD长的最小值及何时取得．

【解】设∠BAC=α，过B作BE⊥AC于E，由题设知，BE=AD=4sinα，
作DF⊥AB于F，则AF=4sinαcosα=2sin2α，FD=4sin²α=2-2cos2α，
∴ BD²= FD²+ FB²=(2-2cos2α)²+(4-2sin2α)²
=24-8(2sin2α+cos2α)=24-8(√5)sin(2α+φ)，其中φ=arctan(1/2).
∴ BD最小值为(√[24-8(√5)]=2(√5)-2．
当且仅当sin[2α+arctan(1/2)]=1，即α=(1/2)arctan2时取得最小值．
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