经过0，在中间；经过∞，在两边
——直线斜率取值范围判断口诀
大罕
平面解析几何中，直线的倾斜角与斜率是常用的基础内容．教学中，教师需着力澄清疑点、化解难点；对学生而言，则应力求理解透彻、融会贯通．然而在求解动直线斜率取值范围问题时，不少学生仍存在理解障碍，极易出现判断失误．
当动直线 l₁绕定点 P 逆时针旋转至 l₂时，会出现两种情况：
① 若旋转过程扫过水平方向，则中间必经过一条斜率 k=0 的直线(简称为水平直线)，这一过程简记为“经过0”，如图1；
② 若旋转过程扫过竖直方向，则中间必经过一条斜率不存在的直线(简称为竖直直线)，这一过程简记为“经过∞”，如图2．
由此自然引出一个常见疑问：如何根据直线l₁与l₂的位置，准确、准确地判断斜率的取值范围？
这是解析几何教学中的典型难点．本文给出一条简洁易记的判断口诀，帮助学生突破思维误区，熟练掌握此类问题的通用规律．
【口诀】经过0，在中间；经过∞，在两边．
注：文中“∞”读作“无穷”，也可通俗读作“八”，便于记忆与口授．
下面按四种典型情形，结合例题说明口诀的具体用法与原理．
【情形一】旋转过程经过水平直线（经过0）．
例1、已知三点 P(-2,3)、A(2,-1)、B(1,6)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交，求直线 l 斜率的取值范围．
分析：直线 PA、PB 是满足条件的边界直线，其斜率分别为k(PA)=-1，k(PB)=1,
动直线在 PA 与 PB 之间旋转时，扫过水平直线（经过0），斜率连续变化且落在两边界斜率之间，如图3．
因此斜率取值范围为：-1
【情形二】旋转过程经过竖直直线（经过∞）．
例2、已知三点 P(-3,-3)、A(2,-1)、B(-4,3)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交，求直线 l 斜率的取值范围．
分析：边界直线 PA、PB 的斜率分别为k (PA)=2/5，k(PB) =-6，
动直线在 PA 与 PB 之间旋转时，扫过竖直直线（经过∞），斜率在竖直直线处发生“跳变”，取值落在两边界斜率的两侧，如图4．
因此斜率取值范围为：k<-6 ，或k>2/5.
小结：经过∞，在两边．
【情形三】#变化# 旋转既经过竖直直线，又经过水平直线．
例3、已知三点 P(-2,3)、A(-4,-2)、B(1,6)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交，求直线 l 斜率的取值范围．
分析：边界直线 PA、PB 的斜率分别为k (PA)=5/2，k(PB) =1，
动直线旋转时既经过竖直直线，又经过水平直线．由于经过了竖直直线（∞），斜率必然出现间断跳变，取值仍落在边界斜率的两侧．
具体言之，在逆时针旋转过程中：
从 k=5/2 向竖直方向旋转，斜率趋向+∞，即 k>5/2；
越过竖直方向后，斜率从 -∞逐渐变化到 k=1，即 k<1，如图5．
综上，斜率取值范围为：k<1，或5/2.
小结：只要经过∞，无论是否同时经过0，斜率范围都在两边．
【情形四】旋转既不经过水平直线，也不经过竖直直线．
例4、已知三点 P(-3,-3)、A(2,-1)、B(-1,4)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 相交，求直线 l 斜率的取值范围．
分析：边界直线 PA、PB 的斜率分别为k (PA)=2/5，k(PB) =7/2，
动直线在两边界之间旋转时，既不经过水平直线，也不经过竖直直线，斜率单调连续变化，落在两边界斜率之间，如图6．
因此斜率取值范围为： 2/5
【总结】求解过定点且与线段相交的直线斜率范围，其规律是：
旋转过程经过水平直线（k=0），斜率范围在两边界之间：在中间；
旋转过程经过竖直直线（k=∞），斜率范围被间断分开：在两边．
于是得口诀：
经过0，在中间；经过∞，在两边．
这正是：
数形合，意相连；勤思辨，趣万千．
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