【最应该培养的数学思维是什么？】

数学思维是什么？有很多说法，没有标准答案。

但要说最应该培养的数学思维是什么，我认为是有共识的。它是从0到1，稀缺且难以培养。不过一旦培养出来后，学起来就指哪打哪，很快就能从1到100。

【那它究竟是什么呢？】

请看图1-3，这块讲的是列竖式算除法，以42除以3为例，但是没有直接讲竖式，而是先回到小学生熟悉的场景，把42分成30和12，分别把30和12分成3份，每份是14。

同时，又退回到乘法运算中，验证结果之后，才提出竖式，此时的竖式就是对上图运算过程的记录。

仔细看上面的竖式，家长们会觉得不对劲，这不是我们熟悉的竖式。但是对初学者来说，他理解上面的竖式更容易，因为上面的竖式是从他熟悉的场景中“生长”出来的，然后再舍去“多余”的部分，优化为下面的样子。

这样学生就知道“竖式”的来龙去脉，这只是一个例子，数学中所有概念、方法都不是凭空产生的，都是从我们熟悉的场景中“生长”出来的。

再比如面积，课本先从边长为1的正方形说起，引出长方形和平行四边形的面积公式，再通过图形指出三角形面积是平行四边形的一半，得出三角形面积公式。

在图4中，圆经过切割重组，拼成了近似平行四边形的图形，从而引出圆的面积公式。

所有的数学“新知”都是从“已知”生长出来的，在数学中，没有任何东西是凭空产生的。
再比如，求解二元一次方程组时，用“消元法”把方程组转化为一元一次方程，把不会的变成会的，把“未知”变为“已知”。

这跟思维有什么关系？

整个数学知识体系，就是循着逻辑，从极简单的起点出发，一层层生长起来的，没有任何一个知识点是游荡在体系之外的。

这一点在初中的平面几何上就更明显了，从5条简洁的公理出发，纯粹用逻辑推理搭建起了整个欧式几何体系。

如果把第5条公理修改一下，就能得到球面几何，这不是对以前知识的否定，而是丰富和拓展，数学是有生命力的，一直在生长。

数学的生长和拓展是无处不在的，比如从乘法可以拓展出指数运算，2乘以2就是2的2次方，此时指数是2，它是正整数，很好理解。数学并不会就此止步，依据已有的运算，可以定义出指数为负数、有理数和无理数的运算。

整个数学体系就是用成长型思维创造的。只要开了头，在逻辑的指引下，它就不会停止生长。

【孩子掌握这种思维了吗？】

既然教科书都是按照“生长”的模式来编写的，那岂不是读一下教科书就能获得“成长型思维”？

实践证明，思维要落地生根没有那么容易。我直到从数学系毕业后，都没有获得成长型思维。很多年后，我学习了脑科学知识，开始重视思维的作用，拿起以前的教科书，才看出原来枯燥的教科书上充满了生机。

它有枝有叶，脉络清晰，有一种无处不在的力，在背后推动它生长。如果熟悉这种力，在读教科书的时候就能感受到它的运行，它调集必要的已有知识，经过组合、变形，在一个个节点上开花结果。

很少有老师会引导学生关注这一点，也很少有学生能自悟到这一点。大家都太着急了，急着赶路，忽视了体会和感受。

【成长型思维和学习兴趣】

人都喜欢灵动，有生命力的东西。如果在学习的过程中，体会到了活生生的数学，自然就能产生兴趣。

人都讨厌死板，僵化的东西。如果是割裂地学习，机械地做题，必然憎恶数学。

【如何培养？】

这么神奇的东西，是不是很难培养？完全不是，只要老师把数学概念是怎么来的讲清楚，引导孩子多思考为什么，就可以了。

不能指望孩子听一遍就能掌握，也不需要这样，所有概念都按照“生长”的模式来讲，经过长期熏陶，在潜移默化之中就掌握了。

【慢就是快】

这样慢吞吞地学，会不会影响做题啊？

有句话叫磨刀不误砍柴工，用钝刀砍柴，非常吃力，非常辛苦，收获少得可怜，没有正反馈，怨气很大。

我们解题用什么？用的就是思维，把刀磨好，砍柴的时候虎虎生风，越砍越来劲。

【成长型思维和解题】

面对一道题，我们需要弄清题目的条件和要求，条件是起点，答案是终点，中间需要用概念和定理铺出一条路来，运用概念和定理就是解题技巧和方法。

所用的概念、定理、技巧和方法都来自于我们曾经学过的东西，没解出来，说明知识体系存在漏洞，把它补上。如果解出来了，那这道题就成为解下道题的基础。

不论能不能解出来，这道题都能对我们的知识体系做出贡献。

拥有成长型思维的人，心中有一个不断“生长”的知识体系。遇到解不出来的题目，内心是喜悦的，因为这道题检测出了体系的漏洞，学会之后，自己的知识体系就得到了更新，所以喜欢挑战难题。

而拥有固定型思维的人，看事物是静态的，割裂的，对“成长”很陌生，认为“不会”就是“不会”，遇到解不出的题目，就觉得出题人在为难自己，不敢挑战难题。

忽视思维的培养，就题论题，往往练得越勤，受伤越深。

【我是如何培养孩子的数学思维的？】

因为孩子在学校已经至少学过一遍了，所以我不会从头再讲一遍。我会通过孩子做题的情况，找出他知识体系中缺漏的部分，把这块的来龙去脉讲清楚。讲题不是单纯讲题，而是回归到最基本的概念，借助题目完善孩子的知识体系。

数学的知识体系是由概念、定理、方法和技巧组成的，每解出一道题，都有一部分内容会从这个体系中被提取出来，并得到加强。

如果实在解不出，说明没有提取到正确的知识，我就会带着孩子检查缺漏项，找到之后，把它补上。

做题就是不断重复两种运动，第一种是从提取到加强，第二种是从提取到查缺补漏。

每天和不断生长的知识体系打交道，自然就是成长型思维。

来上课的孩子都经历了“原来如此”的开悟时刻，摸到了活生生的数学。#心流学习法#