代数变形的机智灵动举例
大罕

本文选取三道典型代数求值题，从韦达定理的模型构建到设元转化的运用，再到式子相乘的巧思变形，展现了代数变形中高超的技巧和灵活机动的适应能力，带你领略化繁为简、直击本质的数学思维之美．

【例1】若a-(1/a)=b-(1/b)=3，|a|≠|b|，求a/b²+b/a²的值.
【解】由a-(1/a)=3和b-(1/b)=3，可知a、 b是
方程 x²-3x-1=0 的两个根,根据韦达定理，则
a+b= 3，ab=-1，
注意到a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)
=3³-3×(-1)×3=36，
∴a/b²+b/a²=(a³+b³)/(ab)²=(36)/(-1)²=36.

【例2】已知实数x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)
+z/(x+y)=1，求x²/(y+z)+y²/(z+x)+z²/(x+y)的值.
【解】已知x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1
两边分别乘以x+y+z得
x(x+y+z)/(y+z)+y(x+y+z)/(z+x)+z(x+y+z)/(x+y)
=x+y+z，
∴x+[x²/(y+z)]+y+[y²/(z+x)]+z+[z²/(x+y)]=x+y+z,
即x²/(y+z)+y²/(z+x)+z²/(x+y)=0

【例3】已知实数a,b,c满足a/(bc-a²)+ b/(ca-b²)+ c/(ab-c²)=0，求a/(bc-a²)²+ b/(ca-b²)²+ c/(ab-c²)²的值.
【解】设x=bc-a² , y=ca-b² , z=ab-c² ，
则已知为 a/x+b/y+c/z=0，
两边同乘以1/x+1/y+1/ z，得
(a/x+b/y+c/z)(1/x+1/y+1/z)=0 ，⇒
a/x²+b/y²+c/z²+(a+b)/(xy)+(a+c)/(xz)+(b+c)/(yz)=0 ，（※）
注意到（※）式中，有
(a+b)/(xy)+(a+c)/(xz)+(b+c)/(yz)
=[1/(xyz)][z(a+b)+y(a+c)+x(b+c)]
=[1/(xyz)][(ab-c²)(a+b)+(ac-b²)(a+c)+(bc-a²)(b+c)]
=[1/(xyz)](a²b+ab²-ac²-bc²+a²c+ac²-ab²-b²c+b²c+bc²-a²b-a²c)=0，
由(※)知：a/(bc-a²)²+ b/(ca-b²)²+ c/(ab-c²)²=0．
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