【数学教育新的切入点：聚焦思维运动的练习】

练习数学就是在练习思维。

菲尔兹奖获得者广中平祐在《自传》中说：他大三时就接触了奇点消解问题，在此之后的许多年，他都一直在试图解决这个问题，期间跟很多人讨论过。有一天，他觉得想得差不多了，于是开始写论文。

在写的过程中，经常会发现以前未注意到的漏洞，那就必须推倒重来，反复拉扯的过程让作者十分痛苦。经过两个多月的奋战，论文终于完成了。原稿的厚度跟马萨诸塞州的电话号码簿差不多，大家都用“广中的号码簿”指代这篇论文。

看到这里，我就感叹：人类的思维居然能深入到这种程度，令人叹为观止。

后来一想，这种情况对数学家来说是常事。怀尔斯证明费马大定理的过程更加曲折和困难，在数代人努力的基础上，他全情投入了7年，才完成了证明。公开后，评审专家发现里面有一个重大漏洞，他又用了一年多时间，修复漏洞，完成证明。期间经历了无数希冀、狂喜、沮丧和焦灼，都没有影响他完成既定目标。

如果把思维运动也当成一项运动，那么数学家就是这个领域的专业运动员，菲尔兹奖得主就是世界冠军。

我们不需要成为冠军，但是我们同样需要训练思维。冠军只有一个，但是每个人的思维都可以通过练习做到更快、更强、更深。

成熟的思维是严密有序，反应灵敏的。数学家在解题时，会有条理地分析问题，推导过程滴水不漏，并且能快速运算和发现推进的机会。

实际上，解决任何问题都需要成熟的思维，即有条理的分析、严密的推算和敏锐的判断。

成熟的思维不是凭空产生的，那是从哪里来的呢？通过练习、在解决问题的过程中产生的。

有工作经验的人都知道，承担复杂项目非常锻炼人，因为有大量的新鲜问题需要解决，我们的思维必须高速运转，以应对接连不断的挑战。

复杂项目是稀缺的，普通人不可能有这样的锻炼机会，那怎么办呢？可以用数学来代替啊，同样是练习思维，做数学题的成本要低多了。

数学是枯燥的，不过把数学当成一项运动，立刻就充满了趣味。

很多人不喜欢数学，是因为学习的内容跟他无关，体会不到学习的意义。现在把数学当成练习思维的运动，立刻就有了意义，把注意力集中在思维上，在做题的过程中，能切实感受到思维的变化。

只要遵循科学的解题流程，思维就会表现得更严密、更有序、更深入，换句话说，大脑变得更强大了。

醉翁之意不在酒，一道题能不能解得出来，关系不大，但是在解题的过程中，思维真的被打磨得光芒四射。

根据心流理论，产生心流的条件是：目标明确、即时反馈和难度适配。数学是最容易产生心流的活动，数学题的目标极其明确。

目标明确有利于调动思维，集中注意力，只要让思维动起来，它就会比原来更快一点、更敏锐一点，思维上的进步就是即时反馈。

传统教育方法很容易让孩子厌倦数学，主要原因就出在反馈上，传统方法的反馈是评价和分数。评价往往是基于做题的成败，这里就存在一个无法解决的矛盾，难题才可以有效锻炼思维，但是往往做不出来，必然导致失败率高，有挫败感。

基于做题成败的评价是很难产生心流的，往往让孩子产生畏难情绪。而分数评价往往滞后，达不到即时的要求。

只有把重点放在思维运动上，才能进入心流。不论难题有没有做出来，只要努力尝试解题，都能立即体会到思维发生了变化，更加敏锐，更加深入，自己在成长，在变强。

这就是即时反馈，注意力放在思维运动上，孩子就不会畏惧难题，而是愈发喜欢迎接挑战，刺激思维成长。

跟游泳篮球一样，学数学是一项运动，体育运动让身体更加协调和强壮，数学锻炼的是思维。

只要能体会到思维的成长，没有任何孩子会拒绝数学。

孩子的大脑可塑性很强，非常敏锐。在带学生的过程中，我能看到他的思维在进步，提取重点更精准、表达思路更流畅、应对难题更从容。我会提醒他注意自己思维的变化，在学习中获得即时反馈，进入心流。

题目是否能成功解出并不重要，因为经常挑战难题，大部分时候是解不出来的。我们要的即时反馈不是题目解出来了，而是思维动起来了。

建立全新的反馈路径，就能在学习的过程中获得源源不断的正反馈，进入心流，沉迷学习。

注意力放在思维运动上，进入心流，分数的事情很容易解决。

反过来，如果把注意力放在成败和分数上，就失去了即时反馈，无法进入心流，学习效率低下，分数就成了大问题，陷入恶性循环。

【难度适配】

太简单的题起不到锻炼效果，太难的也不行。需要根据孩子的具体情况，选择合适的题目，让他觉得充满了挑战，但也不至于毫无头绪。

这种题是锻炼思维的绝佳材料。

【解题流程】

有序的运动，才能起到锻炼的效果。心流是思维高度秩序化的结果，心乱如麻是不可能进入心流的。

不论解怎样的数学题，遵循的流程大致一样。

第一步是理解题目。数学题的目标非常明确，前提是要正确全面地理解它。有的题目篇幅很长，里面变量、条件和关系错综复杂，这些都需要加载到大脑的工作记忆中，并调用长期记忆中储存的相关知识进行加工和处理。

光是读题环节，就涉及到非常复杂的思维运动，需要做针对性的练习。

第二步是尝试解题。题目是有挑战性的，一眼看不出答案，由于此时思维已经调动起来了，头脑中会出现几个解题思路，到底哪个能行得通，也看不出来。

验证思路需要时间，所以必须对每个思路的可行性进行评判，选择一个进行验证。在这个过程中，大脑会不断完善预想的思路。反复验证，不断完善，重复上述过程。

在这个过程中，不知不觉，思维就来到了非常深的地方，平时难以触及的地方，只有凭借数学题才能来到的地方。

如果始终没解决，有几种选择：1 把题目分解成几个小问题，先解决一部分；2 分析相关知识点；3 过一段时间再做；4 带着问题入睡；5 看答案。

不论选择什么，思维都是有序的。

第三步是检查和回顾。假如成功解出了题目，要检查解题过程的每一步，排除逻辑上的漏洞，总结经验。

【思考，快与慢】

丹尼尔·卡尼曼在《思考，快与慢》中说，人类有两种思考模式，一种快，一种慢。快模式出自本能和习惯，不假思索就能得出结论，优点是快，关键时刻能保命，缺点是经常出错。

慢模式就是深入思考，这种能力是通过不断练习获得的。在前面提到的解题流程中，在第一步，理解题目需要慢。

对孩子来说，额叶还没成熟，大脑中的慢思考模式还没有发展起来。看到题就急着做，往往会漏掉很多信息，读题需要刻意慢一点。

第二步，尝试解题，也需要慢。很多孩子见到难题产生畏惧情绪，然后就放弃，这就是习惯导致的快模式。此时，要慢一点，回忆相关的题目，可能用到的知识点，或者把题目分解成若干小问题，降低难度。组织思维有序处理问题。

第三步，检查和回顾，思维的快模式是本能和习惯，一不注意就会跳步，即便是已经把题解出来了，里面很可能有漏洞和错误。还需要慢下来，仔细检查。

【留出足够的练习时间】

每一步都要慢，哪有那么多时间啊？

这就是关键问题，很多孩子每天都很忙，但是做了大量的无效练习。时间是有的，就看怎么安排。

从思维运动的角度出发，减少低效练习，就能节省出很多时间。

按照上面的解题流程，扎实地完成一道题，胜过盲目刷一百道。既然这样，拿出做十道题的时间，认真完成一道题，收到做一百道题的效果，信心立刻就建立起来了。
聚焦思维上的进步，获取即时反馈。

练习必须有重点，从自身情况出发选择目标，以“我”为主，稳步前进。