循环论证第5贴。 用复数的欧拉表达式推三角函数和角公式看起来特别方便。但实际上这个推导也是循环论证。

先回顾一下这个推导怎么来的。复数域上的指数函数e^z是用幂级数定义的，然后实部和虚部恰好是三角函数余弦和正弦的幂级数展开(见图二)。 e^z*e^w=e^(z+w)虽然看起来不言自明，但实际上也需要证明，它是利用上述幂级数和牛顿二项式展开得到的(讲见图三和图四)。这样代入z=ia,w=ib,并利用复数的欧拉表达式，就能获得cos(a+b),sin(a+b)的和角公式.

那么上述推导中哪里事先用到了三角函数和角公式呢？ 问题就出在三角函数的幂级数展开。 这个展开需要计算导数。三角函数导数是利用极限算的，而求导数极限的斜率公式用到了三角函数的和角公式[二哈](见图五图六)。因此用欧拉公式推三角函数和角公式就变成循环论证。 但如果你把它作为一种高观点下对初等数学的解释，这不失为一种便捷的方法。

P.S. 顺带一提，上述导数中用到sin x/x 的极限，这个并不能用洛必达法则做，因为求导公式就是来自于它，所以也是循环论证。 另外，图一是别人给定三角函数和角公式图解证明。