《数学建模33讲：数学与缤纷的世界》 朱浩楠

百货商场的男装价位极差很大，贵的上万元，便宜的不到百元，我们关注的其实不是平均价格，而是平均价位，这可以由平均价格的数量级来反映。

假设百货商场最贵的男装为20000元 / 件，最便宜的男装为100元 / 件，如何计算平均价格的数量级呢？显然取算术平均数并不合理，因为在对二者取算术平均数时，100元的价格相对20000元的价格可以被忽略。实际上，很多商品单价上万元的店铺的赠品价格都不止100元。

这个时候，几何平均数，或者换个称呼，等比中项，就发挥了它的作用。20000和100的等比中项为元，这就是二者的平均数量级。我们完全可以将这个价格近似地看作百货商场男装的平均价位，这和日常感觉也相吻合。

四种平均数的大小关系

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn。

四种平均数的应用场景

调和平均数：最偏袒较小值

几何平均数：较偏袒较小值

算数平均数：不偏袒较小值

平方平均数：较偏袒较大值

举例说明：求1和11的四种平均数

调和平均数：\frac{1}{\left (\frac{1}{1}+\frac{1}{11} \right )\times \frac{1}{2}}= \frac{11}{6}

几何平均数：{\sqrt{11}}

算数平均数：6

平方平均数：\sqrt{61}

所以调和平均数最接近于1，几何平均数较接近于1，平方平均数较接近于11.

-挺有意思的一本书，把数学和实际生活联系了起来，值得一读。