#今天要来点数学吗？##代数##特殊线性群#

今天的事估计没人爱看，但我还是要写出来。所以就不置——那还是置顶吧。

肯塔基大学数学系教授Dave Jensen和他这一届的学生刚刚制作了一条数学被面。图一

这是SL (2,3)的乘法表。SL(2,3) 是一个特殊的群，称为特殊线性群。它是由所有行列式为1的2×2矩阵组成的群，这些矩阵的元素来自于有3个元素的域（通常表示为F_3或GF(3)）。这个群的阶是24，意味着它包含24个元素。

更具体地说，SL(2,3) 是一个非交换群，它在一个2维的向量空间上自然地作用，这个空间的元素是3元域上的向量。这个群的射影版本，PSL(2,3)，可以看作是对称群A4的一个12阶子群。

群的概念在数学中是非常基础的，它描述了一种特殊的集合和在这个集合上定义的运算。想象一下，你有一堆不同的动作，比如旋转、翻转等，这些动作可以连续地施加在某个物体上。如果这些动作满足以下几个条件，它们就可以构成一个群：

封闭性：任意两个动作连续执行（比如先旋转后翻转）仍然是集合中的一个动作。
结合律：动作执行的顺序不影响最终结果（比如先旋转再翻转和先翻转再旋转的结果是一样的）。
单位元：存在一个“不做任何改变”的动作，它对任何动作都没有影响。
逆元：对于集合中的每一个动作，都存在一个“撤销”这个动作的对应动作。

用一个简单的例子来说，你可以想象一个时钟的指针。它可以向前旋转，比如旋转30度，60度等。这些旋转动作就构成了一个群，因为你可以连续旋转多次（封闭性），旋转的顺序不重要（结合律），不旋转是一个有效的动作（单位元），而且每次旋转都可以通过旋转相反的角度来撤销（逆元）。这就是群的基本概念。

但是对于一般的抽象群，就需要为集合里的元素构造一个乘法表，使其满足上面的性质，维持运算的一致性。

稍稍解读这些色块。

沿着主对角线从左上角到右下角计算白色方块。这些对应于其平方为单位元的元素，即1或2阶。亦即存在一个唯一的1阶2×2矩阵（对角线全是1，其它位置为0的单位阵）和一个唯一的2阶2×2矩阵(-1乘单位阵）。这两个矩阵生成的子群是正规的，商 PSL (2,3)恰好与 A_4 同构。

左上角的8×8块由黄色和橙色方块组成，是一个正规子群，与单位四元数群同构。其它8×8块（粉色/紫色和蓝色/绿色）是它的陪集。