数学如何避免致命的深奥性

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读与思（3月12日）

我的观点是，学习数学的目的不是盲目堆积特殊数学定理，而是最终认识到，之前多年的学习说明了数字、数量和空间的关系，这些关系才是最为重要的。这样的一种训练必须作为一切哲学思维的基础。实际上，初等数学如果能够被正确地设想的话，就会正好能够给普通人以所能接受的方式接受哲学训练。但是，无论如何，我们应该避免无意义的细节堆砌。只要你愿意，就尽可能做些例题；让学生们学上几学期、或是几年。但是这些例题必须能够直接说明主要的概念。用这种方式——也只能以这种方式，才能避免致命的深奥性。——（英）怀特海著，庄莲平、王立中译注：《教育的目的》，文汇出版社2012年10月版，第111页。

怀特海明确指出，数学教育的主要目的不是培养职业数学家，也不是培养那些“因为职业的关系需要一定数学细节知识的人”，而是培养学生的思维能力，对学生进行哲学的训练。也就是说，学习数学不是要背诵那些特殊的数学定理，而是认识和把握数字、数量和空间的关系，“作为数学基础的那些主要概念其实一点儿也不深奥。它们是抽象的，但是在自由教育中，把数学包括进去的一个主要目的，就是训练学生掌握抽象的概念”。如何让学生掌握那些抽象的概念和一般的定理呢，怀特海主张，要通过实例“来给这些定理以有力的说明”。但是，这也不是意味着反复做重复性的练习刷题，而是要用少而精的方式，选择那些“能够直接说明主要的概念”的例题，让学生通过具体的联系来认识和把握定理。在一定意义上讲，抽象的方法是数学和哲学共同的特点。数学思维的训练，对于哲学思维的发展无疑是有促进作用的。据说，在以研究哲学为主要方向的柏拉图学院，大门口就有一句话：不懂几何学的人不要进入。怀特海还认为，学习数学历史对于学生的数学思维具有重要意义，“另一种可以归纳学生所学概念的方式是利用数学史，不能把数学史看作只不过是一串人名和日期的简单结合，而应该看作是一般思维趋势的阐述，这种阐述使得这些学科成为最初设计时的兴趣目标。”在书中，怀特海用了大量的篇幅，论述数学学习对于逻辑方法训练的意义，并且从精简教材内容到改进教学方法等方面，全面论述了他心目中理想的数学教育，提出了“继续坚持数学教育的改革，使之能够把这些更广泛更具有哲理的精神包含进去”的设想，许多见解在今天看来仍然具有现实意义。