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考点13 二次型的标准形与规范形 练习题
求二次型标准形的方法(正交变换和配方法)
一、用正交变换化二次型为标准形(主要方法)
1. 写出二次型的矩阵A(要求A对称矩阵)
2. 求A的特征值和特征向量
3. 对特征值重根的特征向量正交化，再单位化(先正交化，后单位化，不能颠倒)
4. 用正交单位化的列向量构成正交阵Q，则X=QY为正交变换.(正交变换保持几何图形不变)
实际上就是实对称矩阵A正交相似于对角阵，标准形中平方项的系数是A的特征值.
二、配方法，配方时"一次一个字母"，即先配方x1，(配方x2时不含x1)以此类推. 检验所作线性变换是否可逆. 配方法所作可逆线性变换是合同变换，根据惯性定理，可逆线性变换保持二次型的秩和正、负惯性指数不变，所得标准形平方项系数与特征值无关，标准形是不唯一的.
化二次型为标准形还有合同变换法，即对A作初等列与行变换，现在的考研大纲未做要求.
三、 作可逆线性变换化标准形平方项系数为士1便得规范形，规范形是唯一的.
这部分内容是线性代数大题的重点，往往是有一定难度的综合题.