#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20211121文字稿, 详细内容请见视频讲解
(1)今天接着昨天的那道题, 我们来讨论“五条半”中的后两条半。

(2)方法四：定义法。
先利用恒等变形将二次型配成若干个完全平方之和(注意此处不是使用的标准配方法过程), 平方和非负, 即此时二次型非负。f>=0, 等号成立当且仅当每一个平方和中的代数式均为0。若可以证明此时x=0, 则x≠0时, 必有f>0。这就是利用定义法证明二次型正定的思路和方法。本题即可采用此方法, 注意配方的过程和结果以及涉及的线性方程组的解的相关问题。

(3)方法五、六：合同于单位阵。
(i)受方法四的启发, 将二次型写成向量内积的形式, 最终化简成f=x^TD^TDx, 即二次型的矩阵A=D^TD, 其中D可逆, 则f正定。
(ii)我曾经说过, 要证明二次型矩阵A合同于单位阵E(C^TAC=E), 这个合同变换矩阵C是不好求解的。现在有了方法五的矩阵D, C矩阵就不难求解了。那么这里的矩阵C和矩阵D有什么样的联系？

(4)通过两天的讲解, 我们将二次型正定的“五条半”充要条件做了一个简单的介绍。对于这类具体的数字型二次型来说, 方法一、二、三较好, 后三种方法则不容易想到。那么对于抽象类的二次型正定问题, 又是什么样的情况呢？