#业精于勤每日一题[超话]#每日一题20211112文字稿, 详细内容请见视频讲解
(1)今天我们来讨论二次型中一类非常重要的问题, 二次型矩阵的对角化, 即化二次型为标准形的问题。这里我们可以考虑使用“配方法”和“正交变换法”。

(2)方法一：配方法
①将某个变量的平方项及其有关的交叉项一次配完, 配成一个完全平方, 这样每配方一次, 少一个变量; 只有依据这样的原则, 才能保证线性变换是可逆变换。
②当平方项的个数少于变量个数时, 做变换时应补充所缺的平方项, 这样才能保证变换是可逆的。

(3)方法二：正交变换法
本质其实就是利用正交变换将实对称矩阵相似(合同)对角化。本题不适合使用正交变换法, 特征值计算较复杂。

(4)①配方法对应的其实是合同对角化。
②正交变换法既是合同对角化, 也是相似对角化。
③配方法和正交变换法最后求得的对角阵不一定相同, 但是对角阵中正、负数个数应相同(惯性定律)。