希尔伯特第六问题为何被称为百年数学难题？

2026年7月23日，中国籍数学家邓煜因攻克“狭义希尔伯特第六问题”获得菲尔兹奖，这一问题之所以被称为百年数学难题，是因为它挑战了从微观牛顿力学严格推导出宏观流体方程的理论根基，历经125年才被首次突破。

一、希尔伯特第六问题的核心：物理学的公理化

希尔伯特第六问题是1900年德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出的23个问题之一，其核心目标是“将物理学公理化”——即用严格的数学逻辑，从最基本的物理定律出发，推导出描述宏观世界的所有物理方程。这一问题直指科学最根本的追问：我们能否从微观粒子的确定性运动，一步步推导出宏观世界的统计性规律？

二、问题的具体分支：从硬球碰撞到玻尔兹曼方程

该问题最核心的子课题聚焦于气体动力学。微观上看，一团气体由数以万亿计的微小硬球粒子组成，它们遵循牛顿力学，在真空中做匀速直线运动并发生弹性碰撞，运动轨迹完全确定。但宏观上，我们感知的却是压强、体积、温度等少数几个参数，以及描述气体行为的玻尔兹曼方程。问题在于：玻尔兹曼在推导该方程时，引入了一个名为“分子混沌假设”的关键前提——即假设两个分子在碰撞前完全独立、互不关联，就像茫茫人海中偶然相遇的陌生人。从绝对确定的牛顿力学出发，这一假设并不显然成立，因为微观粒子之间完全可能存在纠缠和“记忆”。

三、百年未解的三大难题

1. 确定性与随机性的悖论

微观牛顿力学具有时间可逆性——如果瞬间反转所有粒子速度，它们会沿原路退回。但玻尔兹曼方程体现的宏观世界却是时间不可逆的。这种“从可逆到不可逆”的跳跃，被物理学家称为洛施密特悖论，一度引发激烈论战，玻尔兹曼本人甚至在反对声中陷入抑郁。

2. 短时魔咒的困境

1975年，数学家兰福德首次在数学上证明，在极短的时间内分子混沌假设成立。但他的证明依赖于级数展开，一旦时间稍长，微观历史纠缠引发的组合爆炸就会让级数崩溃发散。这个“短时魔咒”悬而未决半个世纪。

3. 无穷的发散项

数学证明的核心挑战在于：要判定系统中有两种力量在拔河——一种是碰撞历史带来的“发散项”，随着时间推移，粒子可能再次相遇形成无穷的死循环；另一种是苛刻几何条件带来的“衰减项”。证明的关键是判定衰减项能否压过发散项。

四、邓煜的突破：终结125年的等待

邓煜与合作者马骁、Zaher Hani引入了一种名为“累积量”的数学工具，它像过滤器一样，能精准捕捉系统中真正串通纠缠的关联，同时滤掉随机噪音。他们开发了一套“切割算法”，将庞大的碰撞历史图谱分解，严格证明了每一次违背独立性的纠缠，都会被几何条件扣除一个巨大的“体积项”，最终衰减战胜发散，分子混沌假设在任意长时间内严格成立。不仅如此，他们还进一步从玻尔兹曼方程推导出了宏观流体的纳维-斯托克斯方程和欧拉方程。

五、为何称为“百年数学难题”

从1900年希尔伯特提出该问题，到2025年邓煜等人发表突破性论文，整整跨越了125年。这期间，它不仅涉及数学与物理的交叉融合，更触及时间本质、确定性与随机性关系等深刻哲学命题。邓煜的博士导师、普林斯顿大学教授约内斯库评价：“同行对他的学术成果评价极高。” 这项成果为气象预测、飞机湍流分析等日常应用奠定了前所未有的理论根基，真正实现了从微观世界到宏观世界之间的数学桥梁架设。